中四多項式練習
中四 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
多項式是中四數學課程的重要部分。本課聚焦展開、重組、多項式運算與代入。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理多項式題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固多項式的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中8題是 DSE 卷一式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成多項式練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
多項式亦應和其他課題連結。數與代數提供計算工具，量度與幾何提供圖像和空間意義，數據處理則要求解釋結果。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。家長或導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎在「多項式」中，計算 $P(x)=x^2+3x+4,\ x=3$。 選出正確答案。
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2 基礎在「多項式」中，計算 $P(x)=x^2+4x+5,\ x=4$。 只須填寫數值。
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3 基礎在「多項式」中，計算 $P(x)=x^2+5x+4,\ x=5$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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4 基礎在「多項式」中，$P(x)=x^2+6x+5,\ x=2$ 的值是 22。這說法是否正確？
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5 基礎多項式 $f(x)=x^{3}-3x^{2}+7x-8$ 除以 $x-2$。求餘數。 選出正確答案。
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6 基礎已知 $x+2$ 是 $f(x)=x^{3}+3x^{2}-2x+c$ 的因式。求 $c$ 的值。 只須填寫答案。
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7 基礎展開 $(x-1)(x^{2}+3x-7)$。求 $x^2$ 項的係數。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎多項式 $f(x)=4x^{2}-3x-1$ 除以 $2x-1$。餘數是 3/2。這說法是否正確？
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9 基礎多項式 $f(x)=x^{3}+4x^{2}-2x+3$ 除以 $x-2$。求餘數。 選出正確答案。
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10 基礎已知 $x+3$ 是 $f(x)=x^{3}-4x^{2}+3x+c$ 的因式。求 $c$ 的值。 只須填寫答案。
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11 基礎展開 $(x+1)(x^{2}+6x-4)$。求 $x^2$ 項的係數。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎多項式 $f(x)=4x^{2}+6x+1$ 除以 $2x-1$。餘數是 -1。這說法是否正確？
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13 普通在「多項式」中，計算 $P(x)=x^2+2x+7,\ x=4$。 選出正確答案。
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14 普通在「多項式」中，計算 $P(x)=x^2+3x+8,\ x=5$。 只須填寫數值。
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15 普通在「多項式」中，計算 $P(x)=x^2+4x+7,\ x=6$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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16 普通在「多項式」中，$P(x)=x^2+5x+8,\ x=3$ 的值是 32。這說法是否正確？
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17 普通已知 $f(x)=-x^{2}+3x+8$。求 $f(-3)$ 的值。 選出正確答案。
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18 普通多項式 $f(x)=x^{3}-x^{2}+9x+3$ 除以 $x-3$。求餘數。 只須填寫答案。
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19 普通已知 $x-3$ 是 $f(x)=x^{3}+3x^{2}+8x+c$ 的因式。求 $c$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題設 $f(x)=x^{3}+3x^{2}-4x-12$，已知 $f(x)=(x+3)(x+2)(x-2)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $f(0)$。
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(b) 求 $f(x)$ 除以 $x-1$ 的餘數。
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(c) 求 $f(x)=0$ 三個根之和。
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21 普通已知 $f(x)=x^{2}+2x+6$。求 $f(5)$ 的值。 選出正確答案。
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22 普通多項式 $f(x)=x^{3}-5x^{2}-3x-12$ 除以 $x-3$。求餘數。 只須填寫答案。
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23 普通已知 $x-1$ 是 $f(x)=x^{3}+3x^{2}+6x+c$ 的因式。求 $c$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題設 $f(x)=x^{3}+3x^{2}-16x-48$，已知 $f(x)=(x+4)(x+3)(x-4)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $f(0)$。
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(b) 求 $f(x)$ 除以 $x-2$ 的餘數。
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(c) 求 $f(x)=0$ 三個根之和。
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25 進階在「多項式」中，計算 $P(x)=x^2+6x+10,\ x=5$。 選出正確答案。
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26 進階在「多項式」中，計算 $P(x)=x^2+2x+11,\ x=6$。 只須填寫數值。
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27 進階在「多項式」中，計算 $P(x)=x^2+3x+10,\ x=7$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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28 進階在「多項式」中，$P(x)=x^2+4x+11,\ x=4$ 的值是 44。這說法是否正確？
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29 進階展開 $(x+4)(x^{2}-x-2)$。求 $x^2$ 項的係數。 選出正確答案。
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30 進階多項式 $f(x)=8x^{2}-4x-5$ 除以 $2x-1$。求餘數。 只須填寫答案。
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31 進階已知 $f(x)=x^{2}-4x+2$。$f(1)$ 的值是 -1。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題已知 $f(x)=x^2+bx+c$，而方程 $f(x)=0$ 的根為 $-1$ 和 $5$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $b$。
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(b) 求 $c$。
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(c) 求 $f(1)$。
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(d) 求 $f(x)$ 的最小值。
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33 進階展開 $(x-4)(x^{2}+4x-5)$。求 $x^2$ 項的係數。 選出正確答案。
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34 進階多項式 $f(x)=8x^{2}-5x+1$ 除以 $2x-1$。求餘數（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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35 進階已知 $f(x)=-x^{2}-8$。$f(2)$ 的值是 -12。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題已知 $f(x)=x^2+bx+c$，而方程 $f(x)=0$ 的根為 $-2$ 和 $0$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $b$。
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(b) 求 $c$。
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(c) 求 $f(-3)$。
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(d) 求 $f(x)$ 的最小值。
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37 挑戰在「多項式」中，計算 $P(x)=x^2+5x+13,\ x=6$。 選出正確答案。
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38 挑戰在「多項式」中，計算 $P(x)=x^2+6x+14,\ x=7$。 只須填寫數值。
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39 挑戰在「多項式」中，計算 $P(x)=x^2+2x+13,\ x=8$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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40 挑戰在「多項式」中，$P(x)=x^2+3x+14,\ x=5$ 的值是 54。這說法是否正確？
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41 挑戰多項式 $f(x)=x^{3}+4x^{2}+4x+6$ 除以 $x+4$。求餘數。 選出正確答案。
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42 挑戰已知 $x-1$ 是 $f(x)=x^{3}+5x^{2}+5x+c$ 的因式。求 $c$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰展開 $(x+3)(x^{2}+2x+7)$。$x^2$ 項的係數是 6。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題設 $f(x)=x^{3}+x^{2}-2x$，已知 $f(x)=x(x+2)(x-1)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $f(0)$。
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(b) 求 $f(x)$ 除以 $x-2$ 的餘數。
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(c) 求 $f(x)=0$ 三個根之和。
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45 挑戰多項式 $f(x)=x^{3}-5x^{2}+6x-11$ 除以 $x-4$。求餘數。 選出正確答案。
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46 挑戰已知 $x+1$ 是 $f(x)=x^{3}-3x^{2}+x+c$ 的因式。求 $c$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰展開 $(x+1)(x^{2}+6x-2)$。$x^2$ 項的係數是 6。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題設 $f(x)=x^{3}+2x^{2}-3x$，已知 $f(x)=x(x+3)(x-1)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $f(0)$。
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(b) 求 $f(x)$ 除以 $x-3$ 的餘數。
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(c) 求 $f(x)=0$ 三個根之和。
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49 尖子在「多項式」中，計算 $P(x)=x^2+4x+16,\ x=7$。 選出正確答案。
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50 尖子在「多項式」中，計算 $P(x)=x^2+5x+17,\ x=8$。 只須填寫數值。
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51 尖子在「多項式」中，計算 $P(x)=x^2+6x+16,\ x=9$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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52 尖子在「多項式」中，$P(x)=x^2+2x+17,\ x=6$ 的值是 66。這說法是否正確？
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53 尖子多項式 $f(x)=4x^{2}-5x+4$ 除以 $2x-1$。求餘數（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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54 尖子已知 $f(x)=-x^{2}+3x+3$。求 $f(2)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子多項式 $f(x)=x^{3}+5x^{2}+4x$ 除以 $x+2$。餘數是 4。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題已知 $f(x)=x^2+bx+c$，而方程 $f(x)=0$ 的根為 $1$ 和 $3$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $b$。
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(b) 求 $c$。
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(c) 求 $f(-1)$。
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(d) 求 $f(x)$ 的最小值。
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57 尖子多項式 $f(x)=8x^{2}-x-1$ 除以 $2x-1$。求餘數（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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58 尖子已知 $f(x)=-x^{2}+4x+1$。求 $f(4)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子多項式 $f(x)=x^{3}+2x^{2}+3x+5$ 除以 $x-2$。餘數是 27。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題已知 $f(x)=x^2+bx+c$，而方程 $f(x)=0$ 的根為 $-5$ 和 $0$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $b$。
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(b) 求 $c$。
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(c) 求 $f(0)$。
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(d) 求 $f(x)$ 的最小值（答案以最簡分數表示）。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
多項式常見錯誤
本課特別要留意展開、重組、多項式運算與代入。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。