中六探究與數學建模練習
中六 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
探究與數學建模是中六數學課程的重要部分。本課聚焦定義變量、作出假設、建立模型與反思限制。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理探究與數學建模題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固探究與數學建模的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中8題是 DSE 卷一式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成探究與數學建模練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
探究與數學建模亦應和其他課題連結。數與代數提供計算工具，量度與幾何提供圖像和空間意義，數據處理則要求解釋結果。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。家長或導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎某情境有 5 組，每組 8 個，另有固定 4 個。建立模型並求總數。 選出正確答案。
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2 基礎某情境有 4 組，每組 9 個，另有固定 5 個。建立模型並求總數。 只須填寫數值。
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3 基礎某情境有 5 組，每組 10 個，另有固定 6 個。建立模型並求總數。 寫出主要步驟並填寫數值。
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4 基礎在「探究與數學建模」中，$7\times 4+7$ 的值是 36。這說法是否正確？
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5 基礎租用場地的收費模型為 $C=50+18n$（元），$n$ 為小時數。預算為 \$337。求最多可租用的整數小時數。 選出正確答案。
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6 基礎一間小店每月固定開支 \$1200，每件貨品成本 \$12、售價 \$24。求收支平衡所需售出的件數。 只須填寫答案。
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7 基礎球被垂直向上拋，$t$ 秒後的高度為 $h=25t-5t^2$ 米。求最大高度（米）（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎細菌數目每 3 小時倍增，最初有 50 個。9 小時後的數目是 300。這說法是否正確？
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9 基礎租用場地的收費模型為 $C=80+12n$（元），$n$ 為小時數。預算為 \$249。求最多可租用的整數小時數。 選出正確答案。
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10 基礎一間小店每月固定開支 \$900，每件貨品成本 \$8、售價 \$20。求收支平衡所需售出的件數。 只須填寫答案。
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11 基礎球被垂直向上拋，$t$ 秒後的高度為 $h=20t-5t^2$ 米。求最大高度（米）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎細菌數目每 4 小時倍增，最初有 50 個。12 小時後的數目是 300。這說法是否正確？
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13 普通某情境有 8 組，每組 12 個，另有固定 3 個。建立模型並求總數。 選出正確答案。
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14 普通某情境有 7 組，每組 13 個，另有固定 4 個。建立模型並求總數。 只須填寫數值。
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15 普通某情境有 8 組，每組 14 個，另有固定 5 個。建立模型並求總數。 寫出主要步驟並填寫數值。
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16 普通在「探究與數學建模」中，$11\times 7+6$ 的值是 83。這說法是否正確？
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17 普通可行區域是以 $(0,0)$、$(6,0)$、$(4,8)$、$(0,8)$ 為頂點的凸四邊形（包括邊界）。求 $P=6x+7y$ 的最大值。 選出正確答案。
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18 普通租用場地的收費模型為 $C=120+25n$（元），$n$ 為小時數。預算為 \$667。求最多可租用的整數小時數。 只須填寫答案。
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19 普通一間小店每月固定開支 \$1500，每件貨品成本 \$20、售價 \$35。求收支平衡所需售出的件數。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題球被垂直向上拋，$t$ 秒後的高度為 $h=50t-5t^2$ 米。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求球回到地面所需時間（秒）。
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(b) 求球到達最高點所需時間（秒）。
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(c) 求最大高度（米）。
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21 普通可行區域是以 $(0,0)$、$(5,0)$、$(2,4)$、$(0,4)$ 為頂點的凸四邊形（包括邊界）。求 $P=6x+4y$ 的最大值。 選出正確答案。
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22 普通租用場地的收費模型為 $C=80+25n$（元），$n$ 為小時數。預算為 \$843。求最多可租用的整數小時數。 只須填寫答案。
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23 普通一間小店每月固定開支 \$900，每件貨品成本 \$12、售價 \$24。求收支平衡所需售出的件數。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題球被垂直向上拋，$t$ 秒後的高度為 $h=30t-5t^2$ 米。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求球回到地面所需時間（秒）。
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(b) 求球到達最高點所需時間（秒）。
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(c) 求最大高度（米）。
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25 進階某情境有 11 組，每組 16 個，另有固定 7 個。建立模型並求總數。 選出正確答案。
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26 進階某情境有 10 組，每組 17 個，另有固定 3 個。建立模型並求總數。 只須填寫數值。
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27 進階某情境有 11 組，每組 18 個，另有固定 4 個。建立模型並求總數。 寫出主要步驟並填寫數值。
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28 進階在「探究與數學建模」中，$15\times 10+5$ 的值是 156。這說法是否正確？
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29 進階球被垂直向上拋，$t$ 秒後的高度為 $h=40t-5t^2$ 米。求最大高度（米）。 選出正確答案。
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30 進階細菌數目每 4 小時倍增，最初有 100 個。求 12 小時後的數目。 只須填寫答案。
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31 進階可行區域是以 $(0,0)$、$(8,0)$、$(2,7)$、$(0,9)$ 為頂點的凸四邊形（包括邊界）。$P=2x+4y$ 的最大值是 36。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題細菌數目為 $N(t)=A\cdot 2^{t/2}$，$t$ 為小時。已知 $N(0)=200$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $A$。
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(b) 求 $N(6)$。
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(c) 求數目達到 $3200$ 所需的時間（小時）。
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33 進階球被垂直向上拋，$t$ 秒後的高度為 $h=15t-5t^2$ 米。求最大高度（米）（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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34 進階細菌數目每 3 小時倍增，最初有 200 個。求 9 小時後的數目。 只須填寫答案。
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35 進階可行區域是以 $(0,0)$、$(8,0)$、$(6,4)$、$(0,4)$ 為頂點的凸四邊形（包括邊界）。$P=2x+6y$ 的最大值是 36。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題細菌數目為 $N(t)=A\cdot 2^{t/4}$，$t$ 為小時。已知 $N(0)=200$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $A$。
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(b) 求 $N(8)$。
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(c) 求數目達到 $1600$ 所需的時間（小時）。
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37 挑戰某情境有 14 組，每組 20 個，另有固定 6 個。建立模型並求總數。 選出正確答案。
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38 挑戰某情境有 13 組，每組 21 個，另有固定 7 個。建立模型並求總數。 只須填寫數值。
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39 挑戰某情境有 14 組，每組 22 個，另有固定 3 個。建立模型並求總數。 寫出主要步驟並填寫數值。
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40 挑戰在「探究與數學建模」中，$19\times 13+4$ 的值是 251。這說法是否正確？
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41 挑戰租用場地的收費模型為 $C=50+30n$（元），$n$ 為小時數。預算為 \$821。求最多可租用的整數小時數。 選出正確答案。
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42 挑戰球被垂直向上拋，$t$ 秒後的高度為 $h=30t-5t^2$ 米。求最大高度（米）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰細菌數目每 2 小時倍增，最初有 50 個。6 小時後的數目是 300。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題球被垂直向上拋，$t$ 秒後的高度為 $h=20t-5t^2$ 米。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求球回到地面所需時間（秒）。
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(b) 求球到達最高點所需時間（秒）。
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(c) 求最大高度（米）。
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45 挑戰租用場地的收費模型為 $C=120+12n$（元），$n$ 為小時數。預算為 \$383。求最多可租用的整數小時數。 選出正確答案。
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46 挑戰一間小店每月固定開支 \$900，每件貨品成本 \$5、售價 \$17。求收支平衡所需售出的件數。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰球被垂直向上拋，$t$ 秒後的高度為 $h=25t-5t^2$ 米。最大高度（米）是 5/2。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題球被垂直向上拋，$t$ 秒後的高度為 $h=40t-5t^2$ 米。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求球回到地面所需時間（秒）。
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(b) 求球到達最高點所需時間（秒）。
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(c) 求最大高度（米）。
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49 尖子某情境有 17 組，每組 24 個，另有固定 5 個。建立模型並求總數。 選出正確答案。
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50 尖子某情境有 16 組，每組 25 個，另有固定 6 個。建立模型並求總數。 只須填寫數值。
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51 尖子某情境有 17 組，每組 26 個，另有固定 7 個。建立模型並求總數。 寫出主要步驟並填寫數值。
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52 尖子在「探究與數學建模」中，$23\times 16+3$ 的值是 372。這說法是否正確？
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53 尖子細菌數目每 5 小時倍增，最初有 100 個。求 15 小時後的數目。 只須填寫答案。
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54 尖子可行區域是以 $(0,0)$、$(9,0)$、$(6,4)$、$(0,4)$ 為頂點的凸四邊形（包括邊界）。求 $P=3x+6y$ 的最大值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子租用場地的收費模型為 $C=300+15n$（元），$n$ 為小時數。預算為 \$835。最多可租用的整數小時數是 35。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題細菌數目為 $N(t)=A\cdot 2^{t/2}$，$t$ 為小時。已知 $N(0)=500$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $A$。
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(b) 求 $N(8)$。
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(c) 求數目達到 $16000$ 所需的時間（小時）。
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57 尖子細菌數目每 2 小時倍增，最初有 50 個。求 6 小時後的數目。 只須填寫答案。
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58 尖子可行區域是以 $(0,0)$、$(4,0)$、$(2,7)$、$(0,7)$ 為頂點的凸四邊形（包括邊界）。求 $P=3x+8y$ 的最大值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子租用場地的收費模型為 $C=300+12n$（元），$n$ 為小時數。預算為 \$578。最多可租用的整數小時數是 23。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題細菌數目為 $N(t)=A\cdot 2^{t/3}$，$t$ 為小時。已知 $N(0)=400$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $A$。
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(b) 求 $N(6)$。
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(c) 求數目達到 $3200$ 所需的時間（小時）。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
探究與數學建模常見錯誤
本課特別要留意定義變量、作出假設、建立模型與反思限制。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。