中六代數綜合練習
中六 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
代數綜合是中六數學課程的重要部分。本課聚焦展開、重組、多項式運算與代入。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理代數綜合題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固代數綜合的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中8題是 DSE 卷一式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成代數綜合練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
代數綜合亦應和其他課題連結。數與代數提供計算工具，量度與幾何提供圖像和空間意義，數據處理則要求解釋結果。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。家長或導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎在「代數綜合」中，計算 $P(x)=x^2+5x+4,\ x=3$。 選出正確答案。
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2 基礎在「代數綜合」中，計算 $P(x)=x^2+6x+5,\ x=4$。 只須填寫數值。
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3 基礎在「代數綜合」中，計算 $P(x)=x^2+2x+4,\ x=5$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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4 基礎在「代數綜合」中，$P(x)=x^2+3x+5,\ x=2$ 的值是 16。這說法是否正確？
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5 基礎考慮二次方程 $x^{2}-7x+5=0$。求判別式 $\Delta$ 的值。 選出正確答案。
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6 基礎設 $\alpha$、$\beta$ 為方程 $x^{2}+6x-10=0$ 的根。求 $\alpha+\beta$ 的值。 只須填寫答案。
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7 基礎解方程 $x^{2}-8x+15=0$。求較大的根。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎多項式 $f(x)=x^{3}+4x^{2}-9x-11$ 除以 $x-2$。餘數是 15。這說法是否正確？
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9 基礎考慮二次方程 $x^{2}+2x-9=0$。求判別式 $\Delta$ 的值。 選出正確答案。
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10 基礎設 $\alpha$、$\beta$ 為方程 $x^{2}+15x-1=0$ 的根。求 $\alpha+\beta$ 的值。 只須填寫答案。
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11 基礎解方程 $x^{2}+9x+20=0$。求較大的根。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎多項式 $f(x)=x^{3}-x^{2}-x+7$ 除以 $x+1$。餘數是 7。這說法是否正確？
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13 普通在「代數綜合」中，計算 $P(x)=x^2+4x+7,\ x=4$。 選出正確答案。
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14 普通在「代數綜合」中，計算 $P(x)=x^2+5x+8,\ x=5$。 只須填寫數值。
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15 普通在「代數綜合」中，計算 $P(x)=x^2+6x+7,\ x=6$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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16 普通在「代數綜合」中，$P(x)=x^2+2x+8,\ x=3$ 的值是 23。這說法是否正確？
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17 普通不使用計算機，求 $\log_{3} 9$ 的值。 選出正確答案。
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18 普通等差數列首項為 $5$，公差為 $7$。求第 30 項。 只須填寫答案。
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19 普通已知 $f(x)=x^{2}+5x+3$。求 $f(-1)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題已知 $f(x)=x^2+bx+c$，而方程 $f(x)=0$ 的根為 $-1$ 和 $7$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $b$。
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(b) 求 $c$。
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(c) 求 $f(2)$。
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(d) 求 $f(x)$ 的最小值。
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21 普通不使用計算機，求 $\log_{3} 27$ 的值。 選出正確答案。
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22 普通等差數列首項為 $13$，公差為 $-3$。求第 20 項。 只須填寫答案。
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23 普通已知 $f(x)=2x^{2}-5x$。求 $f(-1)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題已知 $f(x)=x^2+bx+c$，而方程 $f(x)=0$ 的根為 $-3$ 和 $3$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $b$。
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(b) 求 $c$。
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(c) 求 $f(5)$。
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(d) 求 $f(x)$ 的最小值。
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25 進階在「代數綜合」中，計算 $P(x)=x^2+3x+10,\ x=5$。 選出正確答案。
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26 進階在「代數綜合」中，計算 $P(x)=x^2+4x+11,\ x=6$。 只須填寫數值。
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27 進階在「代數綜合」中，計算 $P(x)=x^2+5x+10,\ x=7$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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28 進階在「代數綜合」中，$P(x)=x^2+6x+11,\ x=4$ 的值是 52。這說法是否正確？
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29 進階解聯立方程 $x+2y=-6$ 及 $2x-y=-12$。求 $x$ 的值。 選出正確答案。
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30 進階考慮二次方程 $3x^{2}-6x-6=0$。求判別式 $\Delta$ 的值。 只須填寫答案。
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31 進階設 $\alpha$、$\beta$ 為方程 $2x^{2}-11x-5=0$ 的根。$\alpha+\beta$ 的值是 11/2。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題設 $f(x)=x^{3}-3x^{2}-x+3$，已知 $f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $f(0)$。
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(b) 求 $f(x)$ 除以 $x-2$ 的餘數。
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(c) 求 $f(x)=0$ 三個根之和。
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33 進階解聯立方程 $2x-y=5$ 及 $x-2y=10$。求 $y$ 的值。 選出正確答案。
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34 進階考慮二次方程 $3x^{2}-4x+4=0$。求判別式 $\Delta$ 的值。 只須填寫答案。
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35 進階設 $\alpha$、$\beta$ 為方程 $x^{2}-15x-2=0$ 的根。$\alpha+\beta$ 的值是 15。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題設 $f(x)=x^{3}-x^{2}-6x$，已知 $f(x)=x(x+2)(x-3)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $f(0)$。
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(b) 求 $f(x)$ 除以 $x-1$ 的餘數。
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(c) 求 $f(x)=0$ 三個根之和。
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37 挑戰在「代數綜合」中，計算 $P(x)=x^2+2x+13,\ x=6$。 選出正確答案。
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38 挑戰在「代數綜合」中，計算 $P(x)=x^2+3x+14,\ x=7$。 只須填寫數值。
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39 挑戰在「代數綜合」中，計算 $P(x)=x^2+4x+13,\ x=8$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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40 挑戰在「代數綜合」中，$P(x)=x^2+5x+14,\ x=5$ 的值是 64。這說法是否正確？
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41 挑戰解方程 $x^{2}+7x+10=0$。求較大的根。 選出正確答案。
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42 挑戰多項式 $f(x)=x^{3}+x^{2}+3x+7$ 除以 $x+3$。求餘數。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰不使用計算機，$\log_{5} 3125$ 的值是 -5。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題等差數列的第 1 項是 $-5$，第 5 項是 $11$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求公差。
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(b) 求第 30 項。
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(c) 求首 30 項之和。
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45 挑戰解方程 $x^{2}+3x=0$。求較大的根。 選出正確答案。
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46 挑戰多項式 $f(x)=x^{3}-4x^{2}+7x-6$ 除以 $x-2$。求餘數。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰不使用計算機，$\log_{10} 1000000$ 的值是 -6。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題等差數列的第 1 項是 $-1$，第 5 項是 $-5$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求公差。
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(b) 求第 23 項。
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(c) 求首 23 項之和。
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49 尖子在「代數綜合」中，計算 $P(x)=x^2+6x+16,\ x=7$。 選出正確答案。
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50 尖子在「代數綜合」中，計算 $P(x)=x^2+2x+17,\ x=8$。 只須填寫數值。
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51 尖子在「代數綜合」中，計算 $P(x)=x^2+3x+16,\ x=9$。 寫出主要步驟並填寫數值。
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52 尖子在「代數綜合」中，$P(x)=x^2+4x+17,\ x=6$ 的值是 78。這說法是否正確？
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53 尖子等差數列首項為 $5$，公差為 $-1$。求第 29 項。 只須填寫答案。
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54 尖子已知 $f(x)=-x^{2}+2x-4$。求 $f(1)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子解聯立方程 $2x+2y=-8$ 及 $x+2y=-3$。$y$ 的值是 1。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題設 $\log_2 M=6$ 及 $\log_2 N=4$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\log_2(MN)$。
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(b) 求 $\log_2\frac{M}{N}$。
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(c) 求 $\log_2(M^2\sqrt{N^2})$。
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(d) 求 $M$。
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57 尖子等差數列首項為 $2$，公差為 $2$。求第 24 項。 只須填寫答案。
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58 尖子已知 $f(x)=3x^{2}+8x-2$。求 $f(-4)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子解聯立方程 $x+3y=18$ 及 $-x-2y=-13$。$y$ 的值是 5。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題設 $\log_2 M=4$ 及 $\log_2 N=3$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\log_2(MN)$。
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(b) 求 $\log_2\frac{M}{N}$。
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(c) 求 $\log_2(M^2\sqrt{N^2})$。
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(d) 求 $M$。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
代數綜合常見錯誤
本課特別要留意展開、重組、多項式運算與代入。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。