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中五圓方程練習

中五　·　60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。

圓方程是中五數學課程的重要部分。本課聚焦圓心、半徑、標準方程與幾何關係。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。

處理圓方程題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。

本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固圓方程的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中8題是 DSE 卷一式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。

有效溫習不是只看總分。完成圓方程練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。

圓方程亦應和其他課題連結。數與代數提供計算工具，量度與幾何提供圖像和空間意義，數據處理則要求解釋結果。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。家長或導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。

本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。

開始練習

  1. 1 基礎
    圓方程為 $(x-h)^2+(y-k)^2=16$，求半徑。 選出正確答案。
  2. 2 基礎
    圓方程為 $(x-h)^2+(y-k)^2=25$，求半徑。 只須填寫數值。

  3. 3 基礎
    圓方程為 $(x-h)^2+(y-k)^2=36$，求半徑。 寫出主要步驟並填寫數值。

  4. 4 基礎
    圓 $(x-h)^2+(y-k)^2=9$ 的半徑是 4。這說法是否正確？
  5. 5 基礎
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2+8x-4y-16=0$。求 $C$ 的半徑。 選出正確答案。
  6. 6 基礎
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2-10x+4y+4=0$。求圓心的 $x$ 坐標。 只須填寫答案。

  7. 7 基礎
    圓的圓心為 $(-3,-5)$，半徑為 2，其方程寫成 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。求 $F$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  8. 8 基礎
    考慮兩點 $A(5,1)$ 及 $B(-7,-15)$。$AB$ 的長度是 28。這說法是否正確？
  9. 9 基礎
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2-2x-2y-79=0$。求 $C$ 的半徑。 選出正確答案。
  10. 10 基礎
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2+6x-8y-11=0$。求圓心的 $x$ 坐標。 只須填寫答案。

  11. 11 基礎
    圓的圓心為 $(1,5)$，半徑為 5，其方程寫成 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。求 $F$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  12. 12 基礎
    考慮兩點 $A(-4,1)$ 及 $B(-8,4)$。$AB$ 的長度是 7。這說法是否正確？
  13. 13 普通
    圓方程為 $(x-h)^2+(y-k)^2=25$，求半徑。 選出正確答案。
  14. 14 普通
    圓方程為 $(x-h)^2+(y-k)^2=36$，求半徑。 只須填寫數值。

  15. 15 普通
    圓方程為 $(x-h)^2+(y-k)^2=49$，求半徑。 寫出主要步驟並填寫數值。

  16. 16 普通
    圓 $(x-h)^2+(y-k)^2=16$ 的半徑是 4。這說法是否正確？
  17. 17 普通
    動點 $P$ 與 $C(-3,5)$ 的距離恆為 3，$P$ 的軌跡方程為 $x^2+y^2+6x-10y+F=0$。求 $F$ 的值。 選出正確答案。
  18. 18 普通
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2-12x-8y+43=0$。求 $C$ 的半徑。 只須填寫答案。

  19. 19 普通
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2+14x-10y+70=0$。求圓心的 $x$ 坐標。 寫出主要步驟並填寫答案。

  20. 20 普通 DSE 長題
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2+6x+2y-279=0$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求圓心的 $x$ 坐標。
    2. (b) 求圓心的 $y$ 坐標。
    3. (c) 求半徑。
    4. (d) 求點 $P(5,14)$ 與 $C$ 的圓心的距離。
  21. 21 普通
    動點 $P$ 與 $C(-4,-2)$ 的距離恆為 3，$P$ 的軌跡方程為 $x^2+y^2+8x+4y+F=0$。求 $F$ 的值。 選出正確答案。
  22. 22 普通
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2-2x+10y+17=0$。求 $C$ 的半徑。 只須填寫答案。

  23. 23 普通
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2+8x-6y+16=0$。求圓心的 $x$ 坐標。 寫出主要步驟並填寫答案。

  24. 24 普通 DSE 長題
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2-8x+2y-272=0$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求圓心的 $x$ 坐標。
    2. (b) 求圓心的 $y$ 坐標。
    3. (c) 求半徑。
    4. (d) 求點 $P(12,14)$ 與 $C$ 的圓心的距離。
  25. 25 進階
    圓方程為 $(x-h)^2+(y-k)^2=36$，求半徑。 選出正確答案。
  26. 26 進階
    圓方程為 $(x-h)^2+(y-k)^2=49$，求半徑。 只須填寫數值。

  27. 27 進階
    圓方程為 $(x-h)^2+(y-k)^2=64$，求半徑。 寫出主要步驟並填寫數值。

  28. 28 進階
    圓 $(x-h)^2+(y-k)^2=25$ 的半徑是 6。這說法是否正確？
  29. 29 進階
    圓的圓心為 $(6,-4)$，半徑為 4，其方程寫成 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。求 $F$ 的值。 選出正確答案。
  30. 30 進階
    考慮兩點 $A(-1,-4)$ 及 $B(20,16)$。求 $AB$ 的長度。 只須填寫答案。

  31. 31 進階
    動點 $P$ 與 $C(-4,-4)$ 的距離恆為 7，$P$ 的軌跡方程為 $x^2+y^2+8x+8y+F=0$。$F$ 的值是 -17。這說法是否正確？
  32. 32 進階 DSE 長題
    $A(-4,-4)$、$B(8,12)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求 $AB$ 的斜率（答案以最簡分數表示）。
    2. (b) 求 $AB$ 的長度。
    3. (c) 求 $AB$ 的垂直平分線的 $y$ 截距（答案以最簡分數表示）。
  33. 33 進階
    圓的圓心為 $(6,3)$，半徑為 3，其方程寫成 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。求 $F$ 的值。 選出正確答案。
  34. 34 進階
    考慮兩點 $A(-4,-3)$ 及 $B(5,-15)$。求 $AB$ 的長度。 只須填寫答案。

  35. 35 進階
    動點 $P$ 與 $C(-3,-4)$ 的距離恆為 4，$P$ 的軌跡方程為 $x^2+y^2+6x+8y+F=0$。$F$ 的值是 9。這說法是否正確？
  36. 36 進階 DSE 長題
    $A(2,2)$、$B(18,32)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求 $AB$ 的斜率（答案以最簡分數表示）。
    2. (b) 求 $AB$ 的長度。
    3. (c) 求 $AB$ 的垂直平分線的 $y$ 截距（答案以最簡分數表示）。
  37. 37 挑戰
    圓方程為 $(x-h)^2+(y-k)^2=49$，求半徑。 選出正確答案。
  38. 38 挑戰
    圓方程為 $(x-h)^2+(y-k)^2=64$，求半徑。 只須填寫數值。

  39. 39 挑戰
    圓方程為 $(x-h)^2+(y-k)^2=81$，求半徑。 寫出主要步驟並填寫數值。

  40. 40 挑戰
    圓 $(x-h)^2+(y-k)^2=36$ 的半徑是 6。這說法是否正確？
  41. 41 挑戰
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2-10x-6y+9=0$。求 $C$ 的半徑。 選出正確答案。
  42. 42 挑戰
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2-8x+2y-8=0$。求圓心的 $y$ 坐標。 寫出主要步驟並填寫答案。

  43. 43 挑戰
    圓的圓心為 $(1,-1)$，半徑為 5，其方程寫成 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。$F$ 的值是 27。這說法是否正確？
  44. 44 挑戰 DSE 長題
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2+10x-8y-128=0$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求圓心的 $x$ 坐標。
    2. (b) 求圓心的 $y$ 坐標。
    3. (c) 求半徑。
    4. (d) 求點 $P(0,16)$ 與 $C$ 的圓心的距離。
  45. 45 挑戰
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2+12x+4y-24=0$。求 $C$ 的半徑。 選出正確答案。
  46. 46 挑戰
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2-4x-6y+9=0$。求圓心的 $x$ 坐標。 寫出主要步驟並填寫答案。

  47. 47 挑戰
    圓的圓心為 $(-1,-3)$，半徑為 3，其方程寫成 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。$F$ 的值是 19。這說法是否正確？
  48. 48 挑戰 DSE 長題
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2+10y-75=0$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求圓心的 $x$ 坐標。
    2. (b) 求圓心的 $y$ 坐標。
    3. (c) 求半徑。
    4. (d) 求點 $P(6,3)$ 與 $C$ 的圓心的距離。
  49. 49 尖子
    圓方程為 $(x-h)^2+(y-k)^2=64$，求半徑。 選出正確答案。
  50. 50 尖子
    圓方程為 $(x-h)^2+(y-k)^2=81$，求半徑。 只須填寫數值。

  51. 51 尖子
    圓方程為 $(x-h)^2+(y-k)^2=100$，求半徑。 寫出主要步驟並填寫數值。

  52. 52 尖子
    圓 $(x-h)^2+(y-k)^2=49$ 的半徑是 8。這說法是否正確？
  53. 53 尖子
    考慮兩點 $A(-5,2)$ 及 $B(15,23)$。求 $AB$ 的長度。 只須填寫答案。

  54. 54 尖子
    動點 $P$ 與 $C(5,-2)$ 的距離恆為 2，$P$ 的軌跡方程為 $x^2+y^2-10x+4y+F=0$。求 $F$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  55. 55 尖子
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2+6x+6y-63=0$。$C$ 的半徑是 9。這說法是否正確？
  56. 56 尖子 DSE 長題
    $A(2,-2)$、$B(20,22)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求 $AB$ 的斜率（答案以最簡分數表示）。
    2. (b) 求 $AB$ 的長度。
    3. (c) 求 $AB$ 的垂直平分線的 $y$ 截距（答案以最簡分數表示）。
  57. 57 尖子
    考慮兩點 $A(1,-2)$ 及 $B(4,-6)$。求 $AB$ 的長度。 只須填寫答案。

  58. 58 尖子
    動點 $P$ 與 $C(3,2)$ 的距離恆為 6，$P$ 的軌跡方程為 $x^2+y^2-6x-4y+F=0$。求 $F$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。

  59. 59 尖子
    圓 $C$ 的方程為 $x^2+y^2+10x+2y+22=0$。$C$ 的半徑是 2。這說法是否正確？
  60. 60 尖子 DSE 長題
    $A(2,3)$、$B(12,27)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求 $AB$ 的斜率（答案以最簡分數表示）。
    2. (b) 求 $AB$ 的長度。
    3. (c) 求 $AB$ 的垂直平分線的 $y$ 截距（答案以最簡分數表示）。

報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。

常見錯誤

圓方程常見錯誤

本課特別要留意圓心、半徑、標準方程與幾何關係。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。

中五其他課題

中五混合溫習（自選課題隨機出卷）→ 我的錯題簿 →

同一類題目一直錯？

重複錯同一步，通常不是不夠操練，而是前面某個概念未通。試堂時我們會先找出那一步。

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