DSE M2微分的應用練習
DSE M2 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
微分的應用是DSE M2數學課程的重要部分。本課聚焦切線與法線、極值、拐點、漸近線、相關變率與最優化。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理微分的應用題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固微分的應用的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成微分的應用練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
微分的應用亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎考慮曲線 $y=2x^{2}+3x-8$ 在 $x=4$ 的法線。求法線的斜率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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2 基礎考慮曲線 $y=2x^2$ 在 $x=-5$ 的切線。求該切線的 $y$ 截距。 只須填寫答案。
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3 基礎已知 $f(x)=x^3-75x+4$。求 $f(x)$ 的極小值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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4 基礎立方體的邊長 $x$ cm 以每秒 $1$ cm 的速率增加。當 $x=7$ 時體積的增加率（cm³/s）是 343。這說法是否正確？
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5 基礎考慮曲線 $y=2x^{2}+2x+4$ 在 $x=-1$ 的法線。求法線的斜率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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6 基礎考慮曲線 $y=2x^2$ 在 $x=2$ 的切線。求該切線的 $y$ 截距。 只須填寫答案。
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7 基礎已知 $f(x)=x^3-12x+1$。求 $f(x)$ 的極小值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎立方體的邊長 $x$ cm 以每秒 $1$ cm 的速率增加。當 $x=3$ 時體積的增加率（cm³/s）是 9。這說法是否正確？
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9 基礎考慮曲線 $y=2x^{2}-x+1$ 在 $x=-1$ 的法線。求法線的斜率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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10 基礎考慮曲線 $y=2x^2$ 在 $x=-4$ 的切線。求該切線的 $y$ 截距。 只須填寫答案。
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11 基礎已知 $f(x)=x^3-75x-4$。求 $f(x)$ 的極小值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎立方體的邊長 $x$ cm 以每秒 $1$ cm 的速率增加。當 $x=5$ 時體積的增加率（cm³/s）是 125。這說法是否正確？
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13 普通從邊長 18 cm 的正方形紙板四角剪去邊長 $x$ cm 的正方形，摺成無蓋盒。求盒的最大體積（cm³）。 選出正確答案。
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14 普通曲線 $y=x^{3}-3x^{2}-4x-4$ 有一個拐點。求拐點的 $x$ 坐標。 只須填寫答案。
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15 普通考慮曲線 $y=\frac{-2x+4}{x-1}$。求水平漸近線 $y=q$ 中 $q$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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16 普通 DSE 長題設 $f(x)=x^3-12x+4$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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17 普通從邊長 6 cm 的正方形紙板四角剪去邊長 $x$ cm 的正方形，摺成無蓋盒。求盒的最大體積（cm³）。 選出正確答案。
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18 普通曲線 $y=-x^{3}-9x^{2}+4$ 有一個拐點。求拐點的 $y$ 坐標。 只須填寫答案。
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19 普通考慮曲線 $y=\frac{x-5}{x+5}$。求水平漸近線 $y=q$ 中 $q$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題設 $f(x)=x^3-27x-4$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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21 普通從邊長 30 cm 的正方形紙板四角剪去邊長 $x$ cm 的正方形，摺成無蓋盒。求盒的最大體積（cm³）。 選出正確答案。
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22 普通曲線 $y=-x^{3}+3x^{2}+x+2$ 有一個拐點。求拐點的 $x$ 坐標。 只須填寫答案。
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23 普通考慮曲線 $y=\frac{3x-5}{x-3}$。求水平漸近線 $y=q$ 中 $q$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題設 $f(x)=x^3-3x+1$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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25 進階考慮曲線 $y=x^{2}+4x$ 在 $x=-1$ 的法線。求法線的斜率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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26 進階考慮曲線 $y=x^2$ 在 $x=4$ 的切線。求該切線的 $y$ 截距。 只須填寫答案。
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27 進階已知 $f(x)=x^3-27x-5$。$f(x)$ 的極小值是 -59。這說法是否正確？
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28 進階 DSE 長題某產品每天的利潤為 $P(x)=-x^2+6x-31$（百元），$x$ 為產量（百件）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $P'(3)$。
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(b) 求使利潤最大的 $x$。
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(c) 求最大利潤（百元）。
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29 進階考慮曲線 $y=-x^{2}+7$ 在 $x=4$ 的法線。求法線的斜率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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30 進階考慮曲線 $y=x^2$ 在 $x=-1$ 的切線。求該切線的 $y$ 截距。 只須填寫答案。
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31 進階已知 $f(x)=x^3-27x$。$f(x)$ 的極小值是 -54。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題某產品每天的利潤為 $P(x)=-3x^2+48x-21$（百元），$x$ 為產量（百件）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $P'(1)$。
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(b) 求使利潤最大的 $x$。
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(c) 求最大利潤（百元）。
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33 進階考慮曲線 $y=2x^{2}-3x+2$ 在 $x=-2$ 的法線。求法線的斜率（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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34 進階考慮曲線 $y=x^2$ 在 $x=-4$ 的切線。求該切線的 $y$ 截距。 只須填寫答案。
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35 進階已知 $f(x)=x^3-75x+1$。$f(x)$ 的極小值是 -249。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題某產品每天的利潤為 $P(x)=-3x^2+36x-38$（百元），$x$ 為產量（百件）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $P'(2)$。
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(b) 求使利潤最大的 $x$。
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(c) 求最大利潤（百元）。
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37 挑戰從邊長 36 cm 的正方形紙板四角剪去邊長 $x$ cm 的正方形，摺成無蓋盒。求盒的最大體積（cm³）。 選出正確答案。
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38 挑戰從邊長 12 cm 的正方形紙板四角剪去邊長 $x$ cm 的正方形，摺成無蓋盒。求盒的最大體積（cm³）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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39 挑戰曲線 $y=2x^{3}-18x^{2}+6x-5$ 有一個拐點。拐點的 $x$ 坐標是 -3。這說法是否正確？
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40 挑戰 DSE 長題設 $f(x)=x^3-3x+3$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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41 挑戰曲線 $y=-x^{3}+4x+6$ 有一個拐點。求拐點的 $x$ 坐標。 選出正確答案。
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42 挑戰從邊長 36 cm 的正方形紙板四角剪去邊長 $x$ cm 的正方形，摺成無蓋盒。求盒的最大體積（cm³）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰曲線 $y=3x^{3}-18x^{2}+5x-3$ 有一個拐點。拐點的 $x$ 坐標是 -2。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題設 $f(x)=x^3-3x-6$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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45 挑戰立方體的邊長 $x$ cm 以每秒 $3$ cm 的速率增加。求當 $x=5$ 時體積的增加率（cm³/s）。 選出正確答案。
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46 挑戰從邊長 24 cm 的正方形紙板四角剪去邊長 $x$ cm 的正方形，摺成無蓋盒。求盒的最大體積（cm³）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰曲線 $y=-x^{3}+6x^{2}+2x-1$ 有一個拐點。拐點的 $x$ 坐標是 -2。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題設 $f(x)=x^3-27x-2$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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49 尖子考慮曲線 $y=\frac{-2x}{x+1}$。求鉛垂漸近線 $x=p$ 中 $p$ 的值。 只須填寫答案。
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50 尖子考慮曲線 $y=x^{2}+2x-4$ 在 $x=-3$ 的法線。求法線的斜率（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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51 尖子考慮曲線 $y=3x^2$ 在 $x=-3$ 的切線。該切線的 $y$ 截距是 -27。這說法是否正確？
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52 尖子 DSE 長題某產品每天的利潤為 $P(x)=-2x^2+16x-23$（百元），$x$ 為產量（百件）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $P'(2)$。
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(b) 求使利潤最大的 $x$。
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(c) 求最大利潤（百元）。
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53 尖子考慮曲線 $y=\frac{3x+7}{x+2}$。求鉛垂漸近線 $x=p$ 中 $p$ 的值。 只須填寫答案。
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54 尖子考慮曲線 $y=x^{2}+5x+7$ 在 $x=2$ 的法線。求法線的斜率（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子考慮曲線 $y=x^2$ 在 $x=-5$ 的切線。該切線的 $y$ 截距是 -25。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題某產品每天的利潤為 $P(x)=-3x^2+24x-12$（百元），$x$ 為產量（百件）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $P'(1)$。
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(b) 求使利潤最大的 $x$。
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(c) 求最大利潤（百元）。
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57 尖子考慮曲線 $y=\frac{3x-3}{x+5}$。求水平漸近線 $y=q$ 中 $q$ 的值。 只須填寫答案。
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58 尖子考慮曲線 $y=-x^{2}+5x$ 在 $x=0$ 的法線。求法線的斜率（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子考慮曲線 $y=2x^2$ 在 $x=-3$ 的切線。該切線的 $y$ 截距是 -18。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題某產品每天的利潤為 $P(x)=-2x^2+24x-38$（百元），$x$ 為產量（百件）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $P'(2)$。
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(b) 求使利潤最大的 $x$。
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(c) 求最大利潤（百元）。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
微分的應用常見錯誤
本課特別要留意切線與法線、極值、拐點、漸近線、相關變率與最優化。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。