DSE M2二項式定理練習
DSE M2 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
二項式定理是DSE M2數學課程的重要部分。本課聚焦二項式定理、通項、指定項係數、常數項及兩個因式相乘的展開。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理二項式定理題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固二項式定理的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成二項式定理練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
二項式定理亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎考慮 $(2-2x)^{6}$ 的展開式。求 $x^{2}$ 項的係數。 選出正確答案。
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2 基礎考慮 $(x+\frac{1}{x})^{4}$ 的展開式。求常數項。 只須填寫答案。
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3 基礎設 $(2-x)^{4}=a_0+a_1x+\dots+a_{4}x^{4}$。求 $a_0+a_1+\dots+a_{4}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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4 基礎考慮 $(x+1)(-2x+1)^{7}$ 的展開式。$x^{2}$ 項的係數是 84。這說法是否正確？
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5 基礎考慮 $(3+x)^{5}$ 的展開式。求 $x^{3}$ 項的係數。 選出正確答案。
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6 基礎考慮 $(x+\frac{2}{x})^{8}$ 的展開式。求常數項。 只須填寫答案。
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7 基礎設 $(2+x)^{4}=a_0+a_1x+\dots+a_{4}x^{4}$。求 $a_0+a_1+\dots+a_{4}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎考慮 $(x+1)(2x+1)^{6}$ 的展開式。$x^{2}$ 項的係數是 60。這說法是否正確？
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9 基礎考慮 $(3-2x)^{4}$ 的展開式。求 $x$ 項的係數。 選出正確答案。
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10 基礎考慮 $(x-\frac{1}{x})^{4}$ 的展開式。求常數項。 只須填寫答案。
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11 基礎設 $(1-2x)^{4}=a_0+a_1x+\dots+a_{4}x^{4}$。求 $a_0+a_1+\dots+a_{4}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎考慮 $(x+1)(-x+1)^{5}$ 的展開式。$x^{3}$ 項的係數是 -10。這說法是否正確？
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13 普通考慮 $(2-2x)^{5}$ 的展開式。求 $x^{2}$ 項的係數。 選出正確答案。
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14 普通考慮 $(x+\frac{1}{x})^{8}$ 的展開式。求常數項。 只須填寫答案。
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15 普通設 $(3+x)^{7}=a_0+a_1x+\dots+a_{7}x^{7}$。求 $a_0+a_1+\dots+a_{7}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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16 普通 DSE 長題考慮 $(1+3x)^{5}$ 的展開式。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x$ 項的係數。
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(b) 求 $x^2$ 項的係數。
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(c) 求所有係數之和。
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17 普通考慮 $(2+3x)^{4}$ 的展開式。求 $x$ 項的係數。 選出正確答案。
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18 普通考慮 $(x+\frac{3}{x})^{4}$ 的展開式。求常數項。 只須填寫答案。
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19 普通設 $(3+x)^{5}=a_0+a_1x+\dots+a_{5}x^{5}$。求 $a_0+a_1+\dots+a_{5}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題考慮 $(1-x)^{5}$ 的展開式。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x$ 項的係數。
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(b) 求 $x^2$ 項的係數。
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(c) 求所有係數之和。
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21 普通考慮 $(1+3x)^{7}$ 的展開式。求 $x$ 項的係數。 選出正確答案。
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22 普通考慮 $(x-\frac{2}{x})^{4}$ 的展開式。求常數項。 只須填寫答案。
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23 普通設 $(2-2x)^{7}=a_0+a_1x+\dots+a_{7}x^{7}$。求 $a_0+a_1+\dots+a_{7}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題考慮 $(3x+2)^{6}$ 的展開式。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x$ 項的係數。
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(b) 求 $x^2$ 項的係數。
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(c) 求所有係數之和。
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(d) 求 $x^3$ 項的係數。
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25 進階考慮 $(2x+1)(2x+1)^{4}$ 的展開式。求 $x^{2}$ 項的係數。 選出正確答案。
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26 進階考慮 $(1+2x)^{7}$ 的展開式。求 $x$ 項的係數。 只須填寫答案。
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27 進階設 $(3-x)^{4}=a_0+a_1x+\dots+a_{4}x^{4}$。$a_0+a_1+\dots+a_{4}$ 的值是 16。這說法是否正確？
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28 進階 DSE 長題考慮 $(1-2x)^{4}$ 的展開式。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x$ 項的係數。
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(b) 求 $x^2$ 項的係數。
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(c) 求所有係數之和。
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29 進階考慮 $(x+1)(-x+1)^{5}$ 的展開式。求 $x^{3}$ 項的係數。 選出正確答案。
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30 進階考慮 $(1+3x)^{4}$ 的展開式。求 $x$ 項的係數。 只須填寫答案。
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31 進階考慮 $(x+\frac{2}{x})^{4}$ 的展開式。常數項是 24。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題考慮 $(1+2x)^{7}$ 的展開式。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x$ 項的係數。
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(b) 求 $x^2$ 項的係數。
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(c) 求所有係數之和。
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33 進階考慮 $(-x+1)(-x+1)^{6}$ 的展開式。求 $x^{3}$ 項的係數。 選出正確答案。
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34 進階考慮 $(2-2x)^{8}$ 的展開式。求 $x^{3}$ 項的係數。 只須填寫答案。
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35 進階考慮 $(x-\frac{1}{x})^{6}$ 的展開式。常數項是 -20。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題考慮 $(-2x+2)^{7}$ 的展開式。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x$ 項的係數。
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(b) 求 $x^2$ 項的係數。
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(c) 求所有係數之和。
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(d) 求 $x^3$ 項的係數。
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37 挑戰設 $(1-2x)^{5}=a_0+a_1x+\dots+a_{5}x^{5}$。求 $a_0+a_1+\dots+a_{5}$ 的值。 選出正確答案。
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38 挑戰考慮 $(x+1)(2x+1)^{4}$ 的展開式。求 $x^{2}$ 項的係數。 寫出主要步驟並填寫答案。
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39 挑戰考慮 $(2+x)^{5}$ 的展開式。$x$ 項的係數是 5。這說法是否正確？
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40 挑戰 DSE 長題考慮 $(1+3x)^{6}$ 的展開式。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x$ 項的係數。
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(b) 求 $x^2$ 項的係數。
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(c) 求所有係數之和。
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41 挑戰設 $(2+x)^{3}=a_0+a_1x+\dots+a_{3}x^{3}$。求 $a_0+a_1+\dots+a_{3}$ 的值。 選出正確答案。
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42 挑戰考慮 $(x+1)(x+1)^{6}$ 的展開式。求 $x^{3}$ 項的係數。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰考慮 $(2+2x)^{4}$ 的展開式。$x^{2}$ 項的係數是 6。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題考慮 $(1+3x)^{4}$ 的展開式。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x$ 項的係數。
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(b) 求 $x^2$ 項的係數。
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(c) 求所有係數之和。
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45 挑戰設 $(2-x)^{6}=a_0+a_1x+\dots+a_{6}x^{6}$。求 $a_0+a_1+\dots+a_{6}$ 的值。 選出正確答案。
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46 挑戰考慮 $(2x+1)(-2x+1)^{5}$ 的展開式。求 $x^{3}$ 項的係數。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰考慮 $(2+3x)^{5}$ 的展開式。$x^{2}$ 項的係數是 10。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題考慮 $(2x+2)^{5}$ 的展開式。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x$ 項的係數。
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(b) 求 $x^2$ 項的係數。
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(c) 求所有係數之和。
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(d) 求 $x^3$ 項的係數。
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49 尖子考慮 $(x+\frac{2}{x})^{4}$ 的展開式。求常數項。 只須填寫答案。
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50 尖子設 $(2-2x)^{5}=a_0+a_1x+\dots+a_{5}x^{5}$。求 $a_0+a_1+\dots+a_{5}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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51 尖子考慮 $(3x+1)(-2x+1)^{5}$ 的展開式。$x^{2}$ 項的係數是 10。這說法是否正確？
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52 尖子 DSE 長題考慮 $(1-x)^{7}$ 的展開式。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x$ 項的係數。
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(b) 求 $x^2$ 項的係數。
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(c) 求所有係數之和。
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53 尖子考慮 $(x-\frac{1}{x})^{6}$ 的展開式。求常數項。 只須填寫答案。
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54 尖子設 $(2+x)^{5}=a_0+a_1x+\dots+a_{5}x^{5}$。求 $a_0+a_1+\dots+a_{5}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子考慮 $(3x+1)(-x+1)^{7}$ 的展開式。$x^{3}$ 項的係數是 28。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題考慮 $(1-2x)^{5}$ 的展開式。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x$ 項的係數。
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(b) 求 $x^2$ 項的係數。
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(c) 求所有係數之和。
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57 尖子設 $(3-x)^{3}=a_0+a_1x+\dots+a_{3}x^{3}$。求 $a_0+a_1+\dots+a_{3}$ 的值。 只須填寫答案。
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58 尖子設 $(3-2x)^{4}=a_0+a_1x+\dots+a_{4}x^{4}$。求 $a_0+a_1+\dots+a_{4}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子考慮 $(3x+1)(x+1)^{5}$ 的展開式。$x^{3}$ 項的係數是 40。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題考慮 $(3x+2)^{10}$ 的展開式。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $x$ 項的係數。
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(b) 求 $x^2$ 項的係數。
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(c) 求所有係數之和。
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(d) 求 $x^3$ 項的係數。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
二項式定理常見錯誤
本課特別要留意二項式定理、通項、指定項係數、常數項及兩個因式相乘的展開。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。