DSE M2微分法練習
DSE M2 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
微分法是DSE M2數學課程的重要部分。本課聚焦求導法則、三角、指數及對數函數的導數、隱函數求導及二階導數。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理微分法題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固微分法的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成微分法練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
微分法亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎已知 $f(x)=x^{3}+2x^{2}-x$。求 $f'(1)$ 的值。 選出正確答案。
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2 基礎設 $y=(x+4)(x^{2}-1)$。求當 $x=-1$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 只須填寫答案。
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3 基礎$y=\frac{x+4}{x+1}$。求當 $x=3$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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4 基礎設 $y=(4x)^{2}$。當 $x=-1$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值是 -8。這說法是否正確？
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5 基礎已知 $f(x)=-3x^{3}-x^{2}-6x+2$。求 $f'(0)$ 的值。 選出正確答案。
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6 基礎設 $y=(x+4)(x^{2}+1)$。求當 $x=-3$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 只須填寫答案。
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7 基礎$y=\frac{x+3}{x+2}$。求當 $x=2$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎設 $y=(-x-3)^{2}$。當 $x=-1$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值是 -4。這說法是否正確？
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9 基礎已知 $f(x)=2x^{3}+4x^{2}+4x-8$。求 $f'(1)$ 的值。 選出正確答案。
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10 基礎設 $y=(x+1)(x^{2}+2)$。求當 $x=2$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 只須填寫答案。
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11 基礎$y=\frac{x+5}{x+2}$。求當 $x=0$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎設 $y=(3x-2)^{5}$。當 $x=2$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值是 1280。這說法是否正確？
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13 普通$y=\ln(4x)$。求當 $x=6$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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14 普通設 $f(x)=4\sin 3x+\cos 3x$。求 $f'(\frac{\pi}{6})$ 的值。 只須填寫答案。
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15 普通點 $(3,-2)$ 在曲線 $xy+y^2=-2$ 上。求該點的 $\frac{dy}{dx}$ 值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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16 普通 DSE 長題曲線 $C:y=x^{3}+4x^{2}+3x$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $C$ 在 $x=1$ 的 $y$ 坐標。
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(b) 求 $C$ 在 $x=1$ 的切線斜率。
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(c) 求該切線的 $y$ 截距。
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17 普通$y=e^{3x}$。求當 $x=0$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 選出正確答案。
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18 普通設 $f(x)=4\sin 2x+3\cos 2x$。求 $f'(0)$ 的值。 只須填寫答案。
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19 普通點 $(5,12)$ 在曲線 $x^2+y^2=169$ 上。求該點的 $\frac{dy}{dx}$ 值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題曲線 $C:y=x^{3}-4x$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $C$ 在 $x=-1$ 的 $y$ 坐標。
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(b) 求 $C$ 在 $x=-1$ 的切線斜率。
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(c) 求該切線的 $y$ 截距。
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21 普通$y=\ln(3x)$。求當 $x=4$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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22 普通設 $f(x)=-2\sin 2x+5\cos 2x$。求 $f'(0)$ 的值。 只須填寫答案。
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23 普通點 $(4,1)$ 在曲線 $xy+y^2=5$ 上。求該點的 $\frac{dy}{dx}$ 值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題曲線 $C:y=x^{3}+3x^{2}+x+5$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $C$ 在 $x=1$ 的 $y$ 坐標。
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(b) 求 $C$ 在 $x=1$ 的切線斜率。
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(c) 求該切線的 $y$ 截距。
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25 進階設 $f(x)=2x^{4}-4x^{3}-4x^{2}-x+3$。求 $f''(-1)$ 的值。 選出正確答案。
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26 進階已知 $f(x)=x^{3}+2x^{2}+4x-9$。求 $f'(-1)$ 的值。 只須填寫答案。
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27 進階設 $y=(x+5)(x^{2}+3)$。當 $x=-1$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值是 -4。這說法是否正確？
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28 進階 DSE 長題設 $f(x)=x^3-3x+3$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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29 進階設 $f(x)=x^{4}-6x^{2}+3x-2$。求 $f''(2)$ 的值。 選出正確答案。
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30 進階已知 $f(x)=3x^{3}-3x^{2}+3x-1$。求 $f'(-1)$ 的值。 只須填寫答案。
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31 進階設 $y=(x-2)(x^{2}+4)$。當 $x=-1$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值是 11。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題設 $f(x)=x^3-27x-5$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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33 進階設 $f(x)=-x^{4}-3x^{3}+2x^{2}+x-7$。求 $f''(3)$ 的值。 選出正確答案。
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34 進階已知 $f(x)=x^{3}-3x^{2}+8x-4$。求 $f'(1)$ 的值。 只須填寫答案。
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35 進階設 $y=(x-3)(x^{2}-2)$。當 $x=3$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值是 7。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題設 $f(x)=x^3-12x+3$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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37 挑戰$y=\frac{x+5}{x+2}$。求當 $x=1$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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38 挑戰設 $y=(2x+3)^{2}$。求當 $x=-1$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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39 挑戰$y=e^{4x}$。當 $x=0$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值是 1。這說法是否正確？
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40 挑戰 DSE 長題曲線 $C:y=x^{3}-3x^{2}+6x-3$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $C$ 在 $x=2$ 的 $y$ 坐標。
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(b) 求 $C$ 在 $x=2$ 的切線斜率。
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(c) 求該切線的 $y$ 截距。
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41 挑戰$y=\frac{x+3}{x+2}$。求當 $x=3$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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42 挑戰設 $y=(4x+1)^{2}$。求當 $x=2$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰$y=\ln(3x)$。當 $x=6$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值是 1/2。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題曲線 $C:y=x^{3}+2x^{2}-6x-3$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $C$ 在 $x=-2$ 的 $y$ 坐標。
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(b) 求 $C$ 在 $x=-2$ 的切線斜率。
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(c) 求該切線的 $y$ 截距。
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45 挑戰$y=\frac{x+2}{x+1}$。求當 $x=2$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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46 挑戰設 $y=(2x)^{3}$。求當 $x=2$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰$y=\ln(6x)$。當 $x=8$ 時 $\frac{dy}{dx}$ 的值是 3/4。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題曲線 $C:y=x^{3}-3x+4$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $C$ 在 $x=2$ 的 $y$ 坐標。
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(b) 求 $C$ 在 $x=2$ 的切線斜率。
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(c) 求該切線的 $y$ 截距。
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49 尖子設 $f(x)=3\sin 4x+3\cos 4x$。求 $f'(0)$ 的值。 只須填寫答案。
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50 尖子點 $(3,4)$ 在曲線 $x^2+y^2=25$ 上。求該點的 $\frac{dy}{dx}$ 值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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51 尖子設 $f(x)=-x^{4}+3x^{3}-5x^{2}+x+3$。$f''(3)$ 的值是 -64。這說法是否正確？
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52 尖子 DSE 長題設 $f(x)=x^3-27x+6$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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53 尖子設 $f(x)=-2\sin 2x+5\cos 2x$。求 $f'(\frac{\pi}{4})$ 的值。 只須填寫答案。
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54 尖子點 $(-3,4)$ 在曲線 $x^2+y^2=25$ 上。求該點的 $\frac{dy}{dx}$ 值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子設 $f(x)=-x^{4}+2x^{3}-2x-5$。$f''(1)$ 的值是 0。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題設 $f(x)=x^3-3x+5$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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57 尖子設 $f(x)=\sin 4x-\cos 4x$。求 $f'(\frac{\pi}{8})$ 的值。 只須填寫答案。
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58 尖子點 $(-8,6)$ 在曲線 $x^2+y^2=100$ 上。求該點的 $\frac{dy}{dx}$ 值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子設 $f(x)=2x^{4}-3x^{3}+5x^{2}-6x+1$。$f''(2)$ 的值是 70。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題設 $f(x)=x^3-12x+7$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
微分法常見錯誤
本課特別要留意求導法則、三角、指數及對數函數的導數、隱函數求導及二階導數。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。