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DSE M2矩陣與行列式練習

DSE M2　·　60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。

矩陣與行列式是DSE M2數學課程的重要部分。本課聚焦矩陣運算、二階與三階行列式、行列式的性質及逆矩陣。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。

處理矩陣與行列式題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。

本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固矩陣與行列式的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。

有效溫習不是只看總分。完成矩陣與行列式練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。

矩陣與行列式亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。

本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。

開始練習

  1. 1 基礎
    $A=\begin{pmatrix}-1&2\\-5&-3\end{pmatrix}$。求 $\det A$。 選出正確答案。
  2. 2 基礎
    $B=\begin{pmatrix}-2&-3&-2\\3&0&3\\-3&1&1\end{pmatrix}$。求 $\det B$。 只須填寫答案。

  3. 3 基礎
    $A=\begin{pmatrix}4&4\\0&-1\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$。求 $AB$ 第 2 行第 1 列的元素。 寫出主要步驟並填寫答案。

  4. 4 基礎
    $A=\begin{pmatrix}6&-2\\1&4\end{pmatrix}$。$A^{-1}$ 第 1 行第 2 列的元素是 -1/13。這說法是否正確？
  5. 5 基礎
    $A=\begin{pmatrix}-3&5\\-6&-5\end{pmatrix}$。求 $\det A$。 選出正確答案。
  6. 6 基礎
    $B=\begin{pmatrix}4&4&2\\1&-1&3\\2&-1&0\end{pmatrix}$。求 $\det B$。 只須填寫答案。

  7. 7 基礎
    $A=\begin{pmatrix}-2&2\\2&0\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}0&2\\4&0\end{pmatrix}$。求 $AB$ 第 2 行第 2 列的元素。 寫出主要步驟並填寫答案。

  8. 8 基礎
    $A=\begin{pmatrix}3&-2\\1&5\end{pmatrix}$。$A^{-1}$ 第 1 行第 2 列的元素是 -2/17。這說法是否正確？
  9. 9 基礎
    $A=\begin{pmatrix}0&-5\\-2&-2\end{pmatrix}$。求 $\det A$。 選出正確答案。
  10. 10 基礎
    $B=\begin{pmatrix}-3&4&2\\4&4&1\\2&3&-2\end{pmatrix}$。求 $\det B$。 只須填寫答案。

  11. 11 基礎
    $A=\begin{pmatrix}-3&-2\\-3&4\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&2\end{pmatrix}$。求 $AB$ 第 2 行第 1 列的元素。 寫出主要步驟並填寫答案。

  12. 12 基礎
    $A=\begin{pmatrix}4&3\\0&1\end{pmatrix}$。$A^{-1}$ 第 1 行第 1 列的元素是 -1/4。這說法是否正確？
  13. 13 普通
    $A$ 是 $2\times 2$ 矩陣，$\det A=-4$。求 $\det(A^2)$。 選出正確答案。
  14. 14 普通
    $A=\begin{pmatrix}-5&-2\\3&4\end{pmatrix}$。求 $\det A$。 只須填寫答案。

  15. 15 普通
    $B=\begin{pmatrix}-2&4&3\\3&-2&2\\2&0&-3\end{pmatrix}$。求 $\det B$。 寫出主要步驟並填寫答案。

  16. 16 普通 DSE 長題
    $A=\begin{pmatrix}3&3\\0&3\end{pmatrix}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求 $\det A$。
    2. (b) 求 $A^{-1}$ 第 1 行第 1 列的元素（答案以最簡分數表示）。
    3. (c) 求 $\det(A^2)$。
  17. 17 普通
    $A$ 是 $2\times 2$ 矩陣，$\det A=2$。求 $\det(A^2)$。 選出正確答案。
  18. 18 普通
    $A=\begin{pmatrix}3&1\\-4&-5\end{pmatrix}$。求 $\det A$。 只須填寫答案。

  19. 19 普通
    $B=\begin{pmatrix}2&4&3\\0&-3&0\\0&-3&2\end{pmatrix}$。求 $\det B$。 寫出主要步驟並填寫答案。

  20. 20 普通 DSE 長題
    $A=\begin{pmatrix}5&4\\-3&4\end{pmatrix}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求 $\det A$。
    2. (b) 求 $A^{-1}$ 第 1 行第 1 列的元素（答案以最簡分數表示）。
    3. (c) 求 $\det(A^2)$。
  21. 21 普通
    $A$ 是 $2\times 2$ 矩陣，$\det A=3$。求 $\det(A^2)$。 選出正確答案。
  22. 22 普通
    $A=\begin{pmatrix}7&4\\-3&6\end{pmatrix}$。求 $\det A$。 只須填寫答案。

  23. 23 普通
    $B=\begin{pmatrix}0&3&-2\\0&2&3\\-3&1&2\end{pmatrix}$。求 $\det B$。 寫出主要步驟並填寫答案。

  24. 24 普通 DSE 長題
    $A=\begin{pmatrix}1&2\\1&5\end{pmatrix}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求 $\det A$。
    2. (b) 求 $A^{-1}$ 第 1 行第 1 列的元素（答案以最簡分數表示）。
    3. (c) 求 $\det(A^2)$。
  25. 25 進階
    $A=\begin{pmatrix}3&-3\\0&-1\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}2&2\\-1&3\end{pmatrix}$。求 $AB$ 第 1 行第 1 列的元素。 選出正確答案。
  26. 26 進階
    $A=\begin{pmatrix}2&4\\-3&1\end{pmatrix}$。求 $A^{-1}$ 第 2 行第 1 列的元素（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。

  27. 27 進階
    $A$ 是 $2\times 2$ 矩陣，$\det A=-1$。$\det(A^{-1})$是 -1。這說法是否正確？
  28. 28 進階 DSE 長題
    $A=\begin{pmatrix}3&2\\-2&3\end{pmatrix}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求 $\det A$。
    2. (b) 求 $A^{-1}$ 第 1 行第 1 列的元素（答案以最簡分數表示）。
    3. (c) 求 $\det(A^2)$。
  29. 29 進階
    $A=\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}-3&1\\1&2\end{pmatrix}$。求 $AB$ 第 2 行第 2 列的元素。 選出正確答案。
  30. 30 進階
    $A=\begin{pmatrix}6&2\\5&1\end{pmatrix}$。求 $A^{-1}$ 第 2 行第 2 列的元素（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。

  31. 31 進階
    $A$ 是 $2\times 2$ 矩陣，$\det A=7$。$\det(A^2)$是 49。這說法是否正確？
  32. 32 進階 DSE 長題
    $A=\begin{pmatrix}5&-1\\3&5\end{pmatrix}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求 $\det A$。
    2. (b) 求 $A^{-1}$ 第 1 行第 1 列的元素（答案以最簡分數表示）。
    3. (c) 求 $\det(A^2)$。
  33. 33 進階
    $A=\begin{pmatrix}5&-3\\4&3\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}3&4\\-2&5\end{pmatrix}$。求 $AB$ 第 1 行第 1 列的元素。 選出正確答案。
  34. 34 進階
    $A=\begin{pmatrix}6&2\\3&5\end{pmatrix}$。求 $A^{-1}$ 第 1 行第 2 列的元素（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。

  35. 35 進階
    $A$ 是 $2\times 2$ 矩陣，$\det A=-6$。$\det(4A)$是 -96。這說法是否正確？
  36. 36 進階 DSE 長題
    $A=\begin{pmatrix}3&4\\4&1\end{pmatrix}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求 $\det A$。
    2. (b) 求 $A^{-1}$ 第 1 行第 1 列的元素（答案以最簡分數表示）。
    3. (c) 求 $\det(A^2)$。
  37. 37 挑戰
    $A=\begin{pmatrix}6&3\\-5&4\end{pmatrix}$。求 $\det A$。 選出正確答案。
  38. 38 挑戰
    $B=\begin{pmatrix}3&3&-2\\2&2&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}$。求 $\det B$。 寫出主要步驟並填寫答案。

  39. 39 挑戰
    $A=\begin{pmatrix}4&1\\2&2\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}-2&0\\3&-2\end{pmatrix}$。$AB$ 第 1 行第 2 列的元素是 0。這說法是否正確？
  40. 40 挑戰 DSE 長題
    $A=\begin{pmatrix}5&1\\-1&3\end{pmatrix}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求 $\det A$。
    2. (b) 求 $A^{-1}$ 第 1 行第 1 列的元素（答案以最簡分數表示）。
    3. (c) 求 $\det(A^2)$。
  41. 41 挑戰
    $A=\begin{pmatrix}2&3\\6&6\end{pmatrix}$。求 $\det A$。 選出正確答案。
  42. 42 挑戰
    $B=\begin{pmatrix}4&-2&4\\0&-3&-3\\0&3&3\end{pmatrix}$。求 $\det B$。 寫出主要步驟並填寫答案。

  43. 43 挑戰
    $A=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&5\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}-1&5\\4&2\end{pmatrix}$。$AB$ 第 1 行第 1 列的元素是 1。這說法是否正確？
  44. 44 挑戰 DSE 長題
    $A=\begin{pmatrix}5&-3\\0&1\end{pmatrix}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求 $\det A$。
    2. (b) 求 $A^{-1}$ 第 1 行第 1 列的元素（答案以最簡分數表示）。
    3. (c) 求 $\det(A^2)$。
  45. 45 挑戰
    $A=\begin{pmatrix}-2&-4\\-2&-4\end{pmatrix}$。求 $\det A$。 選出正確答案。
  46. 46 挑戰
    $B=\begin{pmatrix}-3&-3&-2\\2&-1&-2\\4&1&3\end{pmatrix}$。求 $\det B$。 寫出主要步驟並填寫答案。

  47. 47 挑戰
    $A=\begin{pmatrix}2&4\\1&3\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}3&-3\\-3&4\end{pmatrix}$。$AB$ 第 1 行第 1 列的元素是 6。這說法是否正確？
  48. 48 挑戰 DSE 長題
    $A=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求 $\det A$。
    2. (b) 求 $A^{-1}$ 第 1 行第 1 列的元素（答案以最簡分數表示）。
    3. (c) 求 $\det(A^2)$。
  49. 49 尖子
    $A=\begin{pmatrix}5&1\\0&6\end{pmatrix}$。求 $A^{-1}$ 第 2 行第 1 列的元素。 只須填寫答案。

  50. 50 尖子
    $A$ 是 $2\times 2$ 矩陣，$\det A=6$。求 $\det(3A)$。 寫出主要步驟並填寫答案。

  51. 51 尖子
    $A=\begin{pmatrix}-2&7\\-1&-4\end{pmatrix}$。$\det A$是 15。這說法是否正確？
  52. 52 尖子 DSE 長題
    $A=\begin{pmatrix}5&3\\0&1\end{pmatrix}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求 $\det A$。
    2. (b) 求 $A^{-1}$ 第 1 行第 1 列的元素（答案以最簡分數表示）。
    3. (c) 求 $\det(A^2)$。
  53. 53 尖子
    $A=\begin{pmatrix}3&4\\-3&3\end{pmatrix}$。求 $A^{-1}$ 第 2 行第 2 列的元素（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。

  54. 54 尖子
    $A$ 是 $2\times 2$ 矩陣，$\det A=-2$。求 $\det(A^2)$。 寫出主要步驟並填寫答案。

  55. 55 尖子
    $A=\begin{pmatrix}-5&-1\\5&3\end{pmatrix}$。$\det A$是 -10。這說法是否正確？
  56. 56 尖子 DSE 長題
    $A=\begin{pmatrix}3&2\\0&4\end{pmatrix}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求 $\det A$。
    2. (b) 求 $A^{-1}$ 第 1 行第 1 列的元素（答案以最簡分數表示）。
    3. (c) 求 $\det(A^2)$。
  57. 57 尖子
    $A=\begin{pmatrix}2&-3\\-4&4\end{pmatrix}$。求 $A^{-1}$ 第 1 行第 1 列的元素。 只須填寫答案。

  58. 58 尖子
    $A$ 是 $2\times 2$ 矩陣，$\det A=-4$。求 $\det(A^{-1})$（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。

  59. 59 尖子
    $A=\begin{pmatrix}-1&3\\-3&4\end{pmatrix}$。$\det A$是 5。這說法是否正確？
  60. 60 尖子 DSE 長題
    $A=\begin{pmatrix}4&3\\1&3\end{pmatrix}$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
    1. (a) 求 $\det A$。
    2. (b) 求 $A^{-1}$ 第 1 行第 1 列的元素（答案以最簡分數表示）。
    3. (c) 求 $\det(A^2)$。

報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。

常見錯誤

矩陣與行列式常見錯誤

本課特別要留意矩陣運算、二階與三階行列式、行列式的性質及逆矩陣。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。

DSE M2其他課題

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同一類題目一直錯？

重複錯同一步，通常不是不夠操練，而是前面某個概念未通。試堂時我們會先找出那一步。

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