DSE M1定積分的應用練習
DSE M1 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
定積分的應用是DSE M1數學課程的重要部分。本課聚焦曲線下面積、兩曲線之間的面積、梯形法則及由速度求位移。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理定積分的應用題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固定積分的應用的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成定積分的應用練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
定積分的應用亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎曲線 $y=x^2$ 與直線 $y=3x$ 圍成一個區域。求該區域的面積（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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2 基礎用梯形法則，以 2 個子區間估算 $\int_0^{4}\frac{6}{x+1}\,dx$。求估算值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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3 基礎質點在 $t$ 秒時的速度為 $v=4t+5$ m/s。求由 $t=0$ 至 $t=2$ 的位移（m）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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4 基礎$\int_{0}^{3}(-3x^{2}-6x+2)\,dx$ 的值是 48。這說法是否正確？
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5 基礎用梯形法則，以 4 個子區間估算 $\int_0^{4}\frac{12}{x+1}\,dx$。求估算值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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6 基礎用梯形法則，以 2 個子區間估算 $\int_0^{2}\frac{12}{x+1}\,dx$。求估算值。 只須填寫答案。
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7 基礎質點在 $t$ 秒時的速度為 $v=3t+6$ m/s。求由 $t=0$ 至 $t=6$ 的位移（m）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎$\int_{-2}^{2}(x^{2}+4x-2)\,dx$ 的值是 8/3。這說法是否正確？
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9 基礎曲線 $y=x^2$ 與直線 $y=6x$ 圍成一個區域。求該區域的面積。 選出正確答案。
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10 基礎用梯形法則，以 2 個子區間估算 $\int_0^{4}\frac{24}{x+1}\,dx$。求估算值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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11 基礎質點在 $t$ 秒時的速度為 $v=t+6$ m/s。求由 $t=0$ 至 $t=4$ 的位移（m）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎$\int_{-2}^{3}(4x^{2}-x+2)\,dx$ 的值是 -325/6。這說法是否正確？
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13 普通曲線 $y=x^2$ 與直線 $y=7x$ 圍成一個區域。求該區域的面積（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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14 普通用梯形法則，以 4 個子區間估算 $\int_0^{2}\frac{60}{x+1}\,dx$。求估算值。 只須填寫答案。
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15 普通質點在 $t$ 秒時的速度為 $v=4t+5$ m/s。求由 $t=0$ 至 $t=6$ 的位移（m）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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16 普通 DSE 長題曲線 $y=5x-x^2$ 與 $x$ 軸圍成一個區域。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求曲線與 $x$ 軸的另一個交點的 $x$ 坐標。
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(b) 求曲線的最大高度（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求該區域的面積（答案以最簡分數表示）。
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17 普通用梯形法則，以 4 個子區間估算 $\int_0^{4}\frac{6}{x+1}\,dx$。求估算值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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18 普通用梯形法則，以 2 個子區間估算 $\int_0^{4}\frac{60}{x+1}\,dx$。求估算值。 只須填寫答案。
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19 普通質點在 $t$ 秒時的速度為 $v=t+1$ m/s。求由 $t=0$ 至 $t=5$ 的位移（m）（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題曲線 $y=9x-x^2$ 與 $x$ 軸圍成一個區域。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求曲線與 $x$ 軸的另一個交點的 $x$ 坐標。
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(b) 求曲線的最大高度（答案以最簡分數表示）。
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(c) 求該區域的面積（答案以最簡分數表示）。
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21 普通用梯形法則，以 2 個子區間估算 $\int_0^{2}\frac{60}{x+1}\,dx$。求估算值。 選出正確答案。
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22 普通用梯形法則，以 4 個子區間估算 $\int_0^{4}\frac{24}{x+1}\,dx$。求估算值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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23 普通質點在 $t$ 秒時的速度為 $v=t+2$ m/s。求由 $t=0$ 至 $t=5$ 的位移（m）（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題曲線 $y=8x-x^2$ 與 $x$ 軸圍成一個區域。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求曲線與 $x$ 軸的另一個交點的 $x$ 坐標。
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(b) 求曲線的最大高度。
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(c) 求該區域的面積（答案以最簡分數表示）。
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25 進階求 $\int_{0}^{4}(-2x^{2}+5x+4)\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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26 進階用梯形法則，以 2 個子區間估算 $\int_0^{2}\frac{24}{x+1}\,dx$。求估算值。 只須填寫答案。
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27 進階用梯形法則，以 2 個子區間估算 $\int_0^{4}\frac{12}{x+1}\,dx$。估算值是 112/5。這說法是否正確？
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28 進階 DSE 長題設 $f(x)=12x^{2}-8x+5$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\int_0^1 f(x)\,dx$。
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(b) 求 $\int_0^2 f(x)\,dx$。
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(c) 若 $F'(x)=f(x)$ 而 $F(0)=-4$，求 $F(1)$。
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29 進階求 $\int_{0}^{2}(-2x^{2}+2)\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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30 進階曲線 $y=x^2$ 與直線 $y=7x$ 圍成一個區域。求該區域的面積（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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31 進階$\int_{0}^{2}(x^{2}+2x+1)\,dx$ 的值是 26/3。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題設 $f(x)=3x^{2}-2x+1$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\int_0^1 f(x)\,dx$。
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(b) 求 $\int_0^2 f(x)\,dx$。
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(c) 若 $F'(x)=f(x)$ 而 $F(0)=2$，求 $F(1)$。
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33 進階求 $\int_{1}^{2}(4x^{2}+2x+1)\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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34 進階用梯形法則，以 2 個子區間估算 $\int_0^{2}\frac{6}{x+1}\,dx$。求估算值。 只須填寫答案。
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35 進階用梯形法則，以 4 個子區間估算 $\int_0^{2}\frac{6}{x+1}\,dx$。估算值是 67/10。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題設 $f(x)=12x^{2}-2x-1$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\int_0^1 f(x)\,dx$。
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(b) 求 $\int_0^2 f(x)\,dx$。
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(c) 若 $F'(x)=f(x)$ 而 $F(0)=2$，求 $F(1)$。
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37 挑戰質點在 $t$ 秒時的速度為 $v=3t+5$ m/s。求由 $t=0$ 至 $t=3$ 的位移（m）（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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38 挑戰求 $\int_{-2}^{3}(3x^{2}-5x+6)\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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39 挑戰用梯形法則，以 4 個子區間估算 $\int_0^{4}\frac{6}{x+1}\,dx$。估算值是 137/10。這說法是否正確？
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40 挑戰 DSE 長題曲線 $y=6x-x^2$ 與 $x$ 軸圍成一個區域。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求曲線與 $x$ 軸的另一個交點的 $x$ 坐標。
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(b) 求曲線的最大高度。
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(c) 求該區域的面積。
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41 挑戰質點在 $t$ 秒時的速度為 $v=4t+6$ m/s。求由 $t=0$ 至 $t=4$ 的位移（m）。 選出正確答案。
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42 挑戰求 $\int_{-1}^{4}(x^{2}+3x+5)\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰曲線 $y=x^2$ 與直線 $y=2x$ 圍成一個區域。該區域的面積是 8/3。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題設 $f(x)=9x^{2}+8x+3$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\int_0^1 f(x)\,dx$。
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(b) 求 $\int_0^2 f(x)\,dx$。
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(c) 若 $F'(x)=f(x)$ 而 $F(0)=4$，求 $F(1)$。
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45 挑戰質點在 $t$ 秒時的速度為 $v=t+3$ m/s。求由 $t=0$ 至 $t=3$ 的位移（m）（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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46 挑戰求 $\int_{-2}^{2}(2x^{2}+x+6)\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰曲線 $y=x^2$ 與直線 $y=3x$ 圍成一個區域。該區域的面積是 9。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題曲線 $y=10x-x^2$ 與 $x$ 軸圍成一個區域。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求曲線與 $x$ 軸的另一個交點的 $x$ 坐標。
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(b) 求曲線的最大高度。
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(c) 求該區域的面積（答案以最簡分數表示）。
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49 尖子用梯形法則，以 4 個子區間估算 $\int_0^{4}\frac{12}{x+1}\,dx$。求估算值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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50 尖子質點在 $t$ 秒時的速度為 $v=3t+5$ m/s。求由 $t=0$ 至 $t=6$ 的位移（m）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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51 尖子$\int_{0}^{4}(2x^{2}+x-3)\,dx$ 的值是 116/3。這說法是否正確？
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52 尖子 DSE 長題設 $f(x)=12x^{2}-6$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\int_0^1 f(x)\,dx$。
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(b) 求 $\int_0^2 f(x)\,dx$。
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(c) 若 $F'(x)=f(x)$ 而 $F(0)=-4$，求 $F(1)$。
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53 尖子質點在 $t$ 秒時的速度為 $v=t$ m/s。求由 $t=0$ 至 $t=4$ 的位移（m）。 只須填寫答案。
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54 尖子質點在 $t$ 秒時的速度為 $v=4t+1$ m/s。求由 $t=0$ 至 $t=6$ 的位移（m）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子$\int_{1}^{4}(2x^{2}-3x+5)\,dx$ 的值是 69/2。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題設 $f(x)=12x^{2}+1$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\int_0^1 f(x)\,dx$。
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(b) 求 $\int_0^2 f(x)\,dx$。
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(c) 若 $F'(x)=f(x)$ 而 $F(0)=-4$，求 $F(1)$。
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57 尖子用梯形法則，以 2 個子區間估算 $\int_0^{4}\frac{12}{x+1}\,dx$。求估算值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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58 尖子質點在 $t$ 秒時的速度為 $v=2t+5$ m/s。求由 $t=0$ 至 $t=5$ 的位移（m）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子$\int_{1}^{4}(-x^{2}+x+3)\,dx$ 的值是 -9/2。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題設 $f(x)=3x^{2}-8x-3$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\int_0^1 f(x)\,dx$。
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(b) 求 $\int_0^2 f(x)\,dx$。
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(c) 若 $F'(x)=f(x)$ 而 $F(0)=1$，求 $F(1)$。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
定積分的應用常見錯誤
本課特別要留意曲線下面積、兩曲線之間的面積、梯形法則及由速度求位移。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。