DSE M1積分練習
DSE M1 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
積分是DSE M1數學課程的重要部分。本課聚焦原函數、積分常數、代換積分法及定積分的計算。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理積分題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固積分的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成積分練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
積分亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎求 $\int_{-1}^{4}(3x^{2}-2x-3)\,dx$ 的值。 選出正確答案。
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2 基礎已知 $F'(x)=3x+2$ 及 $F(0)=7$。求 $F(2)$ 的值。 只須填寫答案。
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3 基礎求 $\int_{0}^{\ln 3} e^x\,dx$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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4 基礎$\int_{1}^{e^{3}}\frac{1}{x}\,dx$ 的值是 1。這說法是否正確？
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5 基礎求 $\int_{1}^{3}(4x^{2}-x+7)\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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6 基礎已知 $F'(x)=2x-2$ 及 $F(0)=1$。求 $F(4)$ 的值。 只須填寫答案。
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7 基礎求 $\int_{0}^{\ln 8} e^x\,dx$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎$\int_{1}^{e^{4}}\frac{3}{x}\,dx$ 的值是 4。這說法是否正確？
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9 基礎求 $\int_{1}^{4}(2x^{2}+3x-2)\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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10 基礎已知 $F'(x)=4x-2$ 及 $F(0)=7$。求 $F(3)$ 的值。 只須填寫答案。
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11 基礎求 $\int_{0}^{\ln 7} e^x\,dx$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎$\int_{1}^{e^{1}}\frac{3}{x}\,dx$ 的值是 1。這說法是否正確？
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13 普通求 $\int_0^1(2x+1)^{3}\,dx$ 的值。 選出正確答案。
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14 普通已知 $\int(-2x+3)^{6}\,dx=A(-2x+3)^{7}+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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15 普通求 $\int_{0}^{4}(4x^{2}+5x-5)\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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16 普通 DSE 長題設 $f(x)=9x^{2}-8x-5$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\int_0^1 f(x)\,dx$。
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(b) 求 $\int_0^2 f(x)\,dx$。
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(c) 若 $F'(x)=f(x)$ 而 $F(0)=-4$，求 $F(1)$。
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17 普通求 $\int_0^1(4x+2)^{2}\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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18 普通已知 $\int(3x+1)^{6}\,dx=A(3x+1)^{7}+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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19 普通求 $\int_{1}^{4}(-2x^{2}+2x+8)\,dx$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題設 $f(x)=6x^{2}-8x-3$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\int_0^1 f(x)\,dx$。
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(b) 求 $\int_0^2 f(x)\,dx$。
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(c) 若 $F'(x)=f(x)$ 而 $F(0)=5$，求 $F(1)$。
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21 普通求 $\int_0^1(2x+3)^{4}\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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22 普通已知 $\int(2x+3)^{4}\,dx=A(2x+3)^{5}+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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23 普通求 $\int_{-2}^{3}(x^{2}-6x+8)\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題設 $f(x)=12x^{2}-10x+5$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\int_0^1 f(x)\,dx$。
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(b) 求 $\int_0^2 f(x)\,dx$。
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(c) 若 $F'(x)=f(x)$ 而 $F(0)=-1$，求 $F(1)$。
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25 進階已知 $F'(x)=2x-6$ 及 $F(0)=7$。求 $F(1)$ 的值。 選出正確答案。
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26 進階求 $\int_{0}^{\ln 8} e^x\,dx$ 的值。 只須填寫答案。
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27 進階$\int_{1}^{e^{1}}\frac{3}{x}\,dx$ 的值是 3。這說法是否正確？
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28 進階 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=3x^{2}-5$，而 $\Gamma$ 經過點 $(1,2)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=3$ 的 $y$ 坐標。
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29 進階已知 $F'(x)=4x+4$ 及 $F(0)=3$。求 $F(2)$ 的值。 選出正確答案。
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30 進階求 $\int_{1}^{e^{3}}\frac{2}{x}\,dx$ 的值。 只須填寫答案。
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31 進階$\int_{1}^{e^{2}}\frac{1}{x}\,dx$ 的值是 2。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=-3x^{2}+8x-1$，而 $\Gamma$ 經過點 $(1,2)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=-2$ 的 $y$ 坐標。
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33 進階已知 $F'(x)=4x-2$ 及 $F(0)=3$。求 $F(4)$ 的值。 選出正確答案。
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34 進階求 $\int_{0}^{\ln 5} e^x\,dx$ 的值。 只須填寫答案。
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35 進階$\int_{1}^{e^{6}}\frac{2}{x}\,dx$ 的值是 12。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=9x^{2}+2x$，而 $\Gamma$ 經過點 $(2,2)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=0$ 的 $y$ 坐標。
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37 挑戰求 $\int_0^1(3x+3)^{3}\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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38 挑戰已知 $\int(3x-3)^{5}\,dx=A(3x-3)^{6}+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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39 挑戰$\int_{1}^{2}(x^{2})\,dx$ 的值是 -7/3。這說法是否正確？
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40 挑戰 DSE 長題設 $f(x)=3x^{2}+2x-5$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\int_0^1 f(x)\,dx$。
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(b) 求 $\int_0^2 f(x)\,dx$。
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(c) 若 $F'(x)=f(x)$ 而 $F(0)=1$，求 $F(1)$。
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41 挑戰求 $\int_0^1(4x+3)^{3}\,dx$ 的值。 選出正確答案。
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42 挑戰已知 $\int(-2x-4)^{6}\,dx=A(-2x-4)^{7}+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰$\int_{1}^{4}(-x^{2}+5)\,dx$ 的值是 6。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題設 $f(x)=9x^{2}+8x+4$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\int_0^1 f(x)\,dx$。
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(b) 求 $\int_0^2 f(x)\,dx$。
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(c) 若 $F'(x)=f(x)$ 而 $F(0)=-2$，求 $F(1)$。
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45 挑戰求 $\int_0^1(2x+2)^{4}\,dx$ 的值（答案以最簡分數表示）。 選出正確答案。
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46 挑戰已知 $\int(3x-4)^{4}\,dx=A(3x-4)^{5}+C$。求常數 $A$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰$\int_{-1}^{3}(-2x^{2}+3x+4)\,dx$ 的值是 -28/3。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題設 $f(x)=3x^{2}+2x-2$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\int_0^1 f(x)\,dx$。
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(b) 求 $\int_0^2 f(x)\,dx$。
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(c) 若 $F'(x)=f(x)$ 而 $F(0)=2$，求 $F(1)$。
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49 尖子已知 $F'(x)=2x+6$ 及 $F(0)=9$。求 $F(3)$ 的值。 只須填寫答案。
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50 尖子求 $\int_{0}^{\ln 4} e^x\,dx$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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51 尖子$\int_{1}^{e^{2}}\frac{2}{x}\,dx$ 的值是 4。這說法是否正確？
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52 尖子 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=-3x^{2}-2x-2$，而 $\Gamma$ 經過點 $(-1,-1)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=-2$ 的 $y$ 坐標。
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53 尖子已知 $F'(x)=6x-1$ 及 $F(0)=6$。求 $F(4)$ 的值。 只須填寫答案。
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54 尖子求 $\int_{1}^{e^{6}}\frac{2}{x}\,dx$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子$\int_{1}^{e^{5}}\frac{2}{x}\,dx$ 的值是 10。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=3x^{2}-4x$，而 $\Gamma$ 經過點 $(-1,6)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=-2$ 的 $y$ 坐標。
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57 尖子已知 $F'(x)=3x+2$ 及 $F(0)=-3$。求 $F(3)$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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58 尖子求 $\int_{0}^{\ln 6} e^x\,dx$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子$\int_{1}^{e^{6}}\frac{1}{x}\,dx$ 的值是 6。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題曲線 $\Gamma$ 的斜率為 $\frac{dy}{dx}=6x^{2}-2x+6$，而 $\Gamma$ 經過點 $(1,9)$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 把 $\Gamma$ 的方程寫成 $y=ax^3+bx^2+cx+C$，求 $a$。
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(b) 求積分常數 $C$。
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(c) 求 $\Gamma$ 在 $x=0$ 的 $y$ 坐標。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
積分常見錯誤
本課特別要留意原函數、積分常數、代換積分法及定積分的計算。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。