DSE M1微分的應用練習
DSE M1 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
微分的應用是DSE M1數學課程的重要部分。本課聚焦切線、極大極小、二階導數、相關變率與最優化。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理微分的應用題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固微分的應用的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成微分的應用練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
微分的應用亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎已知 $f(x)=x^3-75x+2$。求 $f(x)$ 的極小值。 選出正確答案。
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2 基礎用長 48 m 的圍欄圍成長方形。求最大可能面積（m²）。 只須填寫答案。
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3 基礎立方體的邊長 $x$ cm 以每秒 $1$ cm 的速率增加。求當 $x=4$ 時體積的增加率（cm³/s）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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4 基礎考慮曲線 $y=2x^2$ 在 $x=-1$ 的切線。該切線的 $y$ 截距是 2。這說法是否正確？
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5 基礎已知 $f(x)=x^3-48x+9$。求 $f(x)$ 的極小值。 選出正確答案。
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6 基礎用長 24 m 的圍欄圍成長方形。求最大可能面積（m²）。 只須填寫答案。
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7 基礎立方體的邊長 $x$ cm 以每秒 $1$ cm 的速率增加。求當 $x=7$ 時體積的增加率（cm³/s）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎考慮曲線 $y=x^2$ 在 $x=5$ 的切線。該切線的 $y$ 截距是 25。這說法是否正確？
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9 基礎已知 $f(x)=x^3-48x+6$。求 $f(x)$ 的極小值。 選出正確答案。
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10 基礎用長 40 m 的圍欄圍成長方形。求最大可能面積（m²）。 只須填寫答案。
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11 基礎立方體的邊長 $x$ cm 以每秒 $2$ cm 的速率增加。求當 $x=8$ 時體積的增加率（cm³/s）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎考慮曲線 $y=3x^2$ 在 $x=2$ 的切線。該切線的 $y$ 截距是 12。這說法是否正確？
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13 普通已知 $f(x)=-x^{3}+2x^{2}+5x-3$。求 $f'(-3)$ 的值。 選出正確答案。
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14 普通設 $f(x)=x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-x+1$。求 $f''(-2)$ 的值。 只須填寫答案。
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15 普通已知 $f(x)=x^3-27x-9$。求 $f(x)$ 的極小值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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16 普通 DSE 長題某產品每天的利潤為 $P(x)=-3x^2+36x-38$（百元），$x$ 為產量（百件）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $P'(3)$。
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(b) 求使利潤最大的 $x$。
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(c) 求最大利潤（百元）。
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17 普通已知 $f(x)=-3x^{3}-2x^{2}+7x+4$。求 $f'(3)$ 的值。 選出正確答案。
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18 普通設 $f(x)=-x^{4}+3x^{3}-4x-3$。求 $f''(3)$ 的值。 只須填寫答案。
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19 普通已知 $f(x)=x^3-75x-3$。求 $f(x)$ 的極小值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題某產品每天的利潤為 $P(x)=-3x^2+54x-55$（百元），$x$ 為產量（百件）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $P'(2)$。
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(b) 求使利潤最大的 $x$。
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(c) 求最大利潤（百元）。
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21 普通已知 $f(x)=3x^{3}+2x^{2}+x+8$。求 $f'(0)$ 的值。 選出正確答案。
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22 普通設 $f(x)=2x^{4}+6x^{2}-2x-6$。求 $f''(0)$ 的值。 只須填寫答案。
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23 普通已知 $f(x)=x^3-3x+10$。求 $f(x)$ 的極小值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題某產品每天的利潤為 $P(x)=-2x^2+16x-58$（百元），$x$ 為產量（百件）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $P'(3)$。
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(b) 求使利潤最大的 $x$。
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(c) 求最大利潤（百元）。
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25 進階用長 20 m 的圍欄圍成長方形。求最大可能面積（m²）。 選出正確答案。
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26 進階立方體的邊長 $x$ cm 以每秒 $3$ cm 的速率增加。求當 $x=2$ 時體積的增加率（cm³/s）。 只須填寫答案。
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27 進階考慮曲線 $y=3x^2$ 在 $x=1$ 的切線。該切線的 $y$ 截距是 -3。這說法是否正確？
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28 進階 DSE 長題設 $f(x)=x^3-3x+8$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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29 進階用長 48 m 的圍欄圍成長方形。求最大可能面積（m²）。 選出正確答案。
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30 進階立方體的邊長 $x$ cm 以每秒 $2$ cm 的速率增加。求當 $x=7$ 時體積的增加率（cm³/s）。 只須填寫答案。
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31 進階考慮曲線 $y=x^2$ 在 $x=-1$ 的切線。該切線的 $y$ 截距是 -1。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題設 $f(x)=x^3-12x+5$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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33 進階用長 100 m 的圍欄圍成長方形。求最大可能面積（m²）。 選出正確答案。
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34 進階立方體的邊長 $x$ cm 以每秒 $\frac{1}{2}$ cm 的速率增加。求當 $x=8$ 時體積的增加率（cm³/s）。 只須填寫答案。
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35 進階考慮曲線 $y=x^2$ 在 $x=2$ 的切線。該切線的 $y$ 截距是 -4。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題設 $f(x)=x^3-12x+2$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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37 挑戰已知 $f(x)=x^{3}-6x^{2}-2x+1$。求 $f'(1)$ 的值。 選出正確答案。
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38 挑戰設 $f(x)=-x^{4}-x^{3}+2x^{2}+2x-7$。求 $f''(-1)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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39 挑戰已知 $f(x)=x^3-27x-4$。$f(x)$ 的極小值是 50。這說法是否正確？
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40 挑戰 DSE 長題某產品每天的利潤為 $P(x)=-2x^2+28x-22$（百元），$x$ 為產量（百件）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $P'(1)$。
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(b) 求使利潤最大的 $x$。
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(c) 求最大利潤（百元）。
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41 挑戰已知 $f(x)=x^{3}+2x^{2}+2x+2$。求 $f'(0)$ 的值。 選出正確答案。
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42 挑戰設 $f(x)=x^{4}+5x^{2}+2x-9$。求 $f''(0)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰已知 $f(x)=x^3-27x-1$。$f(x)$ 的極小值是 53。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題某產品每天的利潤為 $P(x)=-3x^2+18x-52$（百元），$x$ 為產量（百件）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $P'(3)$。
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(b) 求使利潤最大的 $x$。
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(c) 求最大利潤（百元）。
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45 挑戰已知 $f(x)=-3x^{3}+2x^{2}-3x-6$。求 $f'(3)$ 的值。 選出正確答案。
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46 挑戰設 $f(x)=-x^{4}+x^{3}+4x^{2}-3$。求 $f''(2)$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰已知 $f(x)=x^3-12x-5$。$f(x)$ 的極小值是 11。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題某產品每天的利潤為 $P(x)=-3x^2+36x-18$（百元），$x$ 為產量（百件）。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $P'(1)$。
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(b) 求使利潤最大的 $x$。
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(c) 求最大利潤（百元）。
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49 尖子用長 60 m 的圍欄圍成長方形。求最大可能面積（m²）。 只須填寫答案。
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50 尖子立方體的邊長 $x$ cm 以每秒 $\frac{1}{2}$ cm 的速率增加。求當 $x=5$ 時體積的增加率（cm³/s）（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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51 尖子考慮曲線 $y=3x^2$ 在 $x=3$ 的切線。該切線的 $y$ 截距是 -27。這說法是否正確？
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52 尖子 DSE 長題設 $f(x)=x^3-3x-6$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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53 尖子用長 36 m 的圍欄圍成長方形。求最大可能面積（m²）。 只須填寫答案。
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54 尖子立方體的邊長 $x$ cm 以每秒 $3$ cm 的速率增加。求當 $x=7$ 時體積的增加率（cm³/s）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子考慮曲線 $y=3x^2$ 在 $x=2$ 的切線。該切線的 $y$ 截距是 -12。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題設 $f(x)=x^3-27x+7$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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57 尖子立方體的邊長 $x$ cm 以每秒 $2$ cm 的速率增加。求當 $x=6$ 時體積的增加率（cm³/s）。 只須填寫答案。
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58 尖子立方體的邊長 $x$ cm 以每秒 $3$ cm 的速率增加。求當 $x=3$ 時體積的增加率（cm³/s）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子考慮曲線 $y=3x^2$ 在 $x=5$ 的切線。該切線的 $y$ 截距是 -75。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題設 $f(x)=x^3-27x-6$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求極大點的 $x$ 坐標。
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(b) 求極大值。
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(c) 求極小值。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
微分的應用常見錯誤
本課特別要留意切線、極大極小、二階導數、相關變率與最優化。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。