DSE M1指數函數與對數函數練習
DSE M1 · 60 條練習題，答完即時批改並附解題步驟。
指數函數與對數函數是DSE M1數學課程的重要部分。本課聚焦自然底數 e、自然對數、e 的冪級數、指數增長衰減模型與對數線性化。學習時先理解每個量和符號的意思，再把文字、圖像或數據轉成清楚的數學關係。每一步都應寫出根據，計算後用估算、逆運算或代入檢查，這樣才可以分辨概念錯誤和純粹抄寫錯誤。
處理指數函數與對數函數題目時，可採用四個穩定步驟。第一，圈出已知資料和要求；第二，選擇合適的表示方法或公式；第三，逐行完成運算並保留必要單位；第四，回到題目情境檢查答案。遇到表格或圖形，要先讀標題、刻度和標記；遇到代數式，要先確認括號、負號和運算次序。這套流程比背誦單一題型可靠，亦能應付數字或問法的變化。
本課60題共用一致的數學設定與驗算規則，難度由一至五提升。初段鞏固指數函數與對數函數的基本語言和直接運算；中段加入兩步推理、資料轉換及常見變式；後段要求連接不同概念、解釋選擇，並檢查結果是否合理。多項選擇題要先自己計算才比較選項；填充和簡答題應保留關鍵步驟；是非題則要用反例或計算支持判斷。其中12題是 DSE 延伸部分式長題，分 (a)(b)(c) 部分逐步作答，後段往往要用到前段結果。
有效溫習不是只看總分。完成指數函數與對數函數練習後，應按概念標籤整理錯題，說明錯誤發生在理解、列式、運算還是答案表達。隔一天不看答案重做，再用另一組數值自行驗證。如果同一標籤連續出錯，先返回教學內容重建概念；如果只是偶然符號或單位錯誤，就建立交卷前的固定檢查清單。這種短週期回饋可以令方法真正穩定。
指數函數與對數函數亦與延伸部分的其他課題緊扣：代數與三角技巧是微積分的基礎，微積分又支撐概率分佈與統計推斷。學生能用口語說明每一步為甚麼成立，通常代表已超越機械模仿。導師可要求學生先估答案範圍、再完成正式解法，最後比較估算與精確值；三者一致，才算真正完成。
本輪新增20題，目前合共60題。新題包括不同考點的受控變式，每題附雙語條件、提示、解答及可重現驗算規則。
開始練習
0 / 60 已作答
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1 基礎不使用計算機，求 $\ln(e^{5}\cdot e^{2})$ 的值。 選出正確答案。
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2 基礎解方程 $e^{3x+2}=e^{7}$。求 $x$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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3 基礎不使用計算機，求 $\frac{\ln 729}{\ln 27}$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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4 基礎某放射性物質的半衰期為 5 年，現有 80 g。10 年後剩餘的質量（g）是 40。這說法是否正確？
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5 基礎不使用計算機，求 $\ln(e^{-3}\cdot e^{5})$ 的值。 選出正確答案。
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6 基礎解方程 $e^{2x+5}=e^{2}$。求 $x$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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7 基礎不使用計算機，求 $\frac{\ln 81}{\ln 243}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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8 基礎某放射性物質的半衰期為 5 年，現有 200 g。15 年後剩餘的質量（g）是 125。這說法是否正確？
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9 基礎不使用計算機，求 $\ln(e^{-1}\cdot e^{6})$ 的值。 選出正確答案。
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10 基礎解方程 $e^{2x+1}=e^{6}$。求 $x$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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11 基礎不使用計算機，求 $\frac{\ln 64}{\ln 16}$ 的值（答案以最簡分數表示）。 寫出主要步驟並填寫答案。
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12 基礎某放射性物質的半衰期為 8 年，現有 320 g。16 年後剩餘的質量（g）是 160。這說法是否正確？
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13 普通$x$ 與 $y$ 的關係滿足 $\log y=x-1$。求當 $x=2$ 時 $y$ 的值。 選出正確答案。
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14 普通考慮 $(3x+1)e^{4x}$ 的冪級數展開式。求 $x^2$ 項的係數。 只須填寫答案。
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15 普通細菌數目每 2 小時倍增，最初有 100 個。求 10 小時後的數目。 寫出主要步驟並填寫答案。
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16 普通 DSE 長題細菌數目為 $N(t)=A\cdot 2^{t/5}$，$t$ 為小時。已知 $N(0)=500$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $A$。
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(b) 求 $N(15)$。
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(c) 求數目達到 $8000$ 所需的時間（小時）。
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17 普通$x$ 與 $y$ 的關係滿足 $\log y=x+2$。求當 $x=0$ 時 $y$ 的值。 選出正確答案。
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18 普通考慮 $(2x+1)e^{2x}$ 的冪級數展開式。求 $x^2$ 項的係數。 只須填寫答案。
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19 普通細菌數目每 2 小時倍增，最初有 200 個。求 6 小時後的數目。 寫出主要步驟並填寫答案。
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20 普通 DSE 長題細菌數目為 $N(t)=A\cdot 2^{t/5}$，$t$ 為小時。已知 $N(0)=100$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $A$。
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(b) 求 $N(10)$。
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(c) 求數目達到 $800$ 所需的時間（小時）。
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21 普通$x$ 與 $y$ 的關係滿足 $\log y=3x+2$。求當 $x=1$ 時 $y$ 的值。 選出正確答案。
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22 普通考慮 $e^{-2x}$ 的冪級數展開式。求 $x^{4}$ 項的係數（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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23 普通細菌數目每 3 小時倍增，最初有 100 個。求 9 小時後的數目。 寫出主要步驟並填寫答案。
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24 普通 DSE 長題細菌數目為 $N(t)=A\cdot 2^{t/4}$，$t$ 為小時。已知 $N(0)=500$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $A$。
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(b) 求 $N(16)$。
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(c) 求數目達到 $16000$ 所需的時間（小時）。
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25 進階不使用計算機，求 $\ln(e^{-1}\cdot e^{1})$ 的值。 選出正確答案。
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26 進階解方程 $e^{2x-3}=e^{9}$。求 $x$ 的值。 只須填寫答案。
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27 進階不使用計算機，$\frac{\ln 3125}{\ln 25}$ 的值是 5/2。這說法是否正確？
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28 進階 DSE 長題設 $\log_2 M=4$ 及 $\log_2 N=4$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\log_2(MN)$。
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(b) 求 $\log_2\frac{M}{N}$。
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(c) 求 $\log_2(M^2\sqrt{N^2})$。
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(d) 求 $M$。
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29 進階不使用計算機，求 $\ln(e^{5}\cdot e^{5})$ 的值。 選出正確答案。
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30 進階解方程 $e^{3x+2}=e^{9}$。求 $x$ 的值（答案以最簡分數表示）。 只須填寫答案。
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31 進階不使用計算機，$\frac{\ln 3125}{\ln 125}$ 的值是 5/3。這說法是否正確？
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32 進階 DSE 長題細菌數目為 $N(t)=A\cdot 2^{t/5}$，$t$ 為小時。已知 $N(0)=100$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $A$。
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(b) 求 $N(15)$。
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(c) 求數目達到 $1600$ 所需的時間（小時）。
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33 進階不使用計算機，求 $\ln(e^{3}\cdot e^{2})$ 的值。 選出正確答案。
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34 進階解方程 $e^{2x-2}=e^{8}$。求 $x$ 的值。 只須填寫答案。
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35 進階不使用計算機，$\frac{\ln 9}{\ln 27}$ 的值是 2/3。這說法是否正確？
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36 進階 DSE 長題設 $\log_2 M=6$ 及 $\log_2 N=1$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\log_2(MN)$。
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(b) 求 $\log_2\frac{M}{N}$。
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(c) 求 $\log_2(M^2\sqrt{N^2})$。
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(d) 求 $M$。
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37 挑戰某放射性物質的半衰期為 2 年，現有 160 g。求 8 年後剩餘的質量（g）。 選出正確答案。
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38 挑戰$x$ 與 $y$ 的關係滿足 $\log y=2x$。求當 $x=0$ 時 $y$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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39 挑戰考慮 $(x+1)e^{4x}$ 的冪級數展開式。$x^2$ 項的係數是 8。這說法是否正確？
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40 挑戰 DSE 長題細菌數目為 $N(t)=A\cdot 2^{t/2}$，$t$ 為小時。已知 $N(0)=500$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $A$。
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(b) 求 $N(4)$。
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(c) 求數目達到 $4000$ 所需的時間（小時）。
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41 挑戰某放射性物質的半衰期為 3 年，現有 320 g。求 9 年後剩餘的質量（g）。 選出正確答案。
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42 挑戰$x$ 與 $y$ 的關係滿足 $\log y=3x-1$。求當 $x=1$ 時 $y$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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43 挑戰考慮 $(-x+1)e^{3x}$ 的冪級數展開式。$x^2$ 項的係數是 9/2。這說法是否正確？
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44 挑戰 DSE 長題細菌數目為 $N(t)=A\cdot 2^{t/2}$，$t$ 為小時。已知 $N(0)=200$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $A$。
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(b) 求 $N(4)$。
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(c) 求數目達到 $1600$ 所需的時間（小時）。
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45 挑戰某放射性物質的半衰期為 5 年，現有 80 g。求 15 年後剩餘的質量（g）。 選出正確答案。
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46 挑戰$x$ 與 $y$ 的關係滿足 $\log y=x+1$。求當 $x=0$ 時 $y$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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47 挑戰考慮 $(x+1)e^{-2x}$ 的冪級數展開式。$x^2$ 項的係數是 2。這說法是否正確？
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48 挑戰 DSE 長題細菌數目為 $N(t)=A\cdot 2^{t/2}$，$t$ 為小時。已知 $N(0)=400$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $A$。
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(b) 求 $N(6)$。
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(c) 求數目達到 $6400$ 所需的時間（小時）。
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49 尖子細菌數目每 2 小時倍增，最初有 50 個。求 10 小時後的數目。 只須填寫答案。
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50 尖子不使用計算機，求 $\ln(e^{2}\cdot e^{4})$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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51 尖子解方程 $e^{x-4}=e^{4}$。$x$ 的值是 8。這說法是否正確？
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52 尖子 DSE 長題設 $\log_2 M=7$ 及 $\log_2 N=4$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\log_2(MN)$。
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(b) 求 $\log_2\frac{M}{N}$。
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(c) 求 $\log_2(M^2\sqrt{N^2})$。
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(d) 求 $M$。
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53 尖子不使用計算機，求 $\ln(e^{4}\cdot e^{1})$ 的值。 只須填寫答案。
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54 尖子不使用計算機，求 $\ln(e^{-3}\cdot e^{4})$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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55 尖子解方程 $e^{x+4}=e^{4}$。$x$ 的值是 0。這說法是否正確？
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56 尖子 DSE 長題設 $\log_2 M=5$ 及 $\log_2 N=5$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\log_2(MN)$。
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(b) 求 $\log_2\frac{M}{N}$。
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(c) 求 $\log_2(M^2\sqrt{N^2})$。
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(d) 求 $M$。
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57 尖子細菌數目每 5 小時倍增，最初有 500 個。求 15 小時後的數目。 只須填寫答案。
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58 尖子不使用計算機，求 $\ln(e^{-4}\cdot e^{1})$ 的值。 寫出主要步驟並填寫答案。
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59 尖子解方程 $e^{2x-3}=e^{1}$。$x$ 的值是 2。這說法是否正確？
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60 尖子 DSE 長題設 $\log_2 M=4$ 及 $\log_2 N=5$。 分題作答，每部分只須填寫答案。
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(a) 求 $\log_2(MN)$。
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(b) 求 $\log_2\frac{M}{N}$。
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(c) 求 $\log_2(M^2\sqrt{N^2})$。
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(d) 求 $M$。
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報告會列出答錯的題目與相關概念，只有你自己看得到。
常見錯誤
指數函數與對數函數常見錯誤
本課特別要留意自然底數 e、自然對數、e 的冪級數、指數增長衰減模型與對數線性化。第一類錯誤是未讀清條件便套公式，令所用數值或關係不符題意。第二類是跳步太多，負號、括號、小數點或單位在轉換時遺失。第三類是得到答案後沒有核對合理性，例如概率超過一、長度為負數、角度超出圖形限制，或計算結果與估算差距太大。改正方法是把條件、列式、運算和檢查分成四行，並在最後一句寫出答案所代表的量。